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提取公因数的简便运算题

提取公因数是初等代数中的一种基本运算，它主要用

于化简多项式或方程的计算，以便于进一步的运算和求

解。在这篇文档中，我们将讨论提取公因数的一些简便运

算题，以便更好地理解和掌握这种运算。

一、单项式的提取公因数

首先介绍单项式的提取公因数。在求一个单项式a的

因式时，我们需要寻找它的因数，然后进行因式分解，以

便于进一步的计算或求解。常见的方法有：

1.判断能否分解为素数的积。例如，一个数可以表示

为2x3x5的乘积，那么2、3、5就是它的因数。同样的，

一个单项式可以被分解为两个单项式的乘积，它们的系数

和指数可以计算出来。

例如，对于单项式6x^2y，它可以被分解为

2x*x*y*3，所以2x可以提取出公因数，即

6x^2y=2x(3xy)。

2.判断能否分解为其他单项式的乘积。例如，一个单

项式可以被分解为两个同底数的幂的乘积，那么这两个幂

就是它的因数。同样的，一个单项式也可以被分解为其他

单项式的乘积。

例如，对于单项式4x^3+8x^2，它可以被分解为

4x^2(x+2)，所以4x^2可以提取出公因数，即

4x^3+8x^2=4x^2(x+2)。

3.使用“分解质因数”的方法。例如，对于一个正整

数，我们可以使用“分解质因数”的方法将它分解为素数

的乘积。同样的，一个单项式也可以使用这种方法分解。

例如，对于单项式12x^3-24x^2，它可以被分解为

12x^2(x-2)，所以12x^2可以提取出公因数，即12x^3-

24x^2=12x^2(x-2)。

二、多项式的提取公因数

接下来是多项式的提取公因数。一个多项式是由若干

单项式相加或相减得到的表达式，因此它的每一项都可以

进行提取公因数的操作。常见的方法有：

1.明确公因数。首先，要观察多项式中各项的系数和

指数，确定它们是否存在公因数。例如，对于多项式

6x^3+9x^2，它们的系数3和x^2就是它们的公因数。

将公因数提取出来，得到：6x^3+9x^2=3x^2(2x+3)。

2.分组提取公因数。如果多项式中存在多个单项式，

那么可以考虑将它们分成若干组，然后对每一组中的单项

式进行提取公因数。例如，对于多项式6x^3-

9xy^2+12x^2y，可以将它们分为三组：6x^3、-9xy^2，和

12x^2y。分别提取公因数后再合并起来，即：

6x^3-9xy^2+12x^2y=3x^2(2x-3y)+12x^2y=3x^2(2x-

3y+4y)=3x^2(2x+y)。

3.公因式分解法。这种方法通常适用于含有多项式的

多项式，它的主要思想是先找出整个多项式中的一个公因

子，然后对除了公因子外的部分进行拆分。例如，对于多

项式2x^2+6xy+4y^2，我们可以先提取公因数2，然后对

x^2+3xy+2y^2进行分解，得到：

2x^2+6xy+4y^2=2(x^2+3xy+2y^2)=2(x+2y)(x+y)。

三、综合练习

最后，我们来看一下更加综合的练习题。在练习中，

我们需要灵活运用以上三种方法，以便于提取多项式的公

因数。例如：

1.化简多项式3x(x^2+2y)+2y(x^2+2y)，我们可以先

把它们化为公因数的形式，即：

3x(x^2+2y)+2y(x^2+2y)=(x^2+2y)(3x+2y)。

2.化简多项式2x^2+5xy+3x+15y，我们可以先对它们

进行分组，再提取公因数，即：

2x^2+5xy+3x+15y=(2x^2+5xy)+(3x+15y)=x(2x+5y)+3(

2x+5y)=(2x+5y)(x+3)。

3.将多项式3x^3-4x+2y(x^2-2xy+y^2)化为公因数的

形式，我们可以利用公因数分解法，即：

3x^3-4x+2y(x^2-2xy+y^2)=x(3x^2-4)+y(2(x-

y)