非学科数学学培训 正方形综合（资料附答案）.pdfVIP

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自学资料

主题：正方形综合

自学五步法

一、正方形

【知识探索】

1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

【说明】

（1）正方形既是有一组临边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；

（2）正方形的面积还可用对角线乘积除以2求得；

（3）正方形具有平行四边形的所有性质；

（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；4条对

称轴，其中2条对称轴是其对角线所在的直线，另外2条对称轴是每组对边的垂直平分线；

（5）

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【错题精练】

例1．如图，正方形ABCD，M是BC上一点，连接AM，作AM的垂直平分线GH交AB于点G，交

CD于点H，已知AM=10cm，求GH的长．

【解答】把线段GH向下平移到BN，则BN=GH，BN⊥AM；

可以以正方形ABCD的中心为旋转中心，逆时针旋转90°，使Rt△ABM重合于Rt△BCN，

所以GH=BN=AM．

22cmB

例．如图，将边长为的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点顺时针旋转

α0°α90°__________

一个角度（＜＜），若两正方形重叠部分的面积为，则这个旋转角度为度．

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【解答】设A′D′与CD的交点为E，连接BE；由于A′B=BC，易证得△A′BE≌△CBE，因此两者的面积

相等，即可根据△CBE的面积求得CE的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE、∠CBA′的度数，进而

可求得旋转角的度数．

例3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，

∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

1BD=ABCD

（）已知，求正方形的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD=，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的边长为1；

2CN=CM

（）．

证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，

∴CE⊥AF，

∴∠AEN=∠CBN=90°，

∵∠ANE=∠CNB，

∴∠BAF=∠BCN，

在△ABF和△CBN中，

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，

∴△ABF≌△CBN（AAS），

∴AF=CN，

∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，

∴∠BAF=∠OCM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∴∠ABF=∠COM=90°，

∴△ABF∽△COM，

∴=，

∴==，

即CN=CM．

112CN=CM