第七章　第四节　求通项公式.docx

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第四节求通项公式

【核心考点·分类突破】

模型一形如an+1=pan+q

[例1](1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2025等于()

A.22024-1 B.42024-1

C.22024+1 D.42024+1

【解析】选B.因为an=4an-1+3(n≥2),

所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),

所以{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,

则an+1=4n-1.

所以an=4n-1-1,所以a2025=42024-1.

(2)已知数列{an}的首项a1=1,且1an+1=3an+2,则

【解析】因为1an+1=3an+2,等式两边同时加1整理得

又因为a1=1,所以1a

所以{1an

所以1an+1=2·3n-1,所以an=

答案:1

解题技法

形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)

第①步:假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t)的形式;

第②步:由待定系数法,解得t=qp

第③步:写出数列{an+qp

第④步:写出数列{an}的通项公式.

对点训练

已知在数列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,则S6=.?

【解析】因为an+1=-2an-3,

所以an+1+1=-2(an+1),

因为a1+1=2≠0,所以数列{an+1}是以2为首项,-2为公比的等比数列,

所以an+1=2×(-2)n-1,

即an=2×(-2)n-1-1,Sn=23[1-(-2)n]-n

所以S6=23×(1-26)-6=-48

答案:-48

模型二形如an+1=pan+qn+c

[例2]已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,则an=.?

【解析】因为an+1=2an-n+1,

设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化简后an+1=2an+xn+y-x,对比原式解方程组得x=-1,y=0,

即an+1-(n+1)=2(an-n),

所以an

即数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,则an-n=2·2n-1=2n,

所以an=2n+n.

答案:2n+n

解题技法

形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)

第①步:假设将递推公式改写为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;

第②步:由待定系数法,求出x,y的值;

第③步:写出数列{an+xn+y}的通项公式;

第④步:写出数列{an}的通项公式.

对点训练

已知a1=1,当n≥2时,an=12an-1+2n-1,则an=

【解析】设an+pn+q=12[an-1+p(n-1)+q

即an=12an-1-12pn-12p-

与原式比较,对应项系数相等得,

-12

首项a1-4+6=3,

所以{an-4n+6}是3为首项,12

所以an-4n+6=3·(12)n-1

所以an=3·(12)n-1+4n-6

答案:3·(12)n-1+4n

模型三形如an+1=pan+qn

[例3]在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=.?

【解析】方法一:原递推式可化为

an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①

比较系数得λ=-4,①式即是an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).

则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4×31-1=-5,公比为2的等比数列,

所以an-4·3n-1=-5·2n-1,

即an=4·3n-1-5·2n-1.

方法二:将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得an+13n+1=2

设bn=an3n,则bn+1=23b

设bn+1+k=23(bn+k),比较系数得k=-43,则bn

所以{bn-43}是以-53为首项,23为公比的等比数列.所以bn-43=(-53)·(

则bn=43-53·(23)

所以an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.

答案:4·3n-1-5·2n-1

解题技法

形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)

第①步:在递推公式两边同除以qn+1,得an+1qn+1=p

第②步:求数列{anqn

(i)当p=q时,原式可以变形为an+1qn+1=anq

(ii)当p≠q时,原式可以变形为an+1qn+1+λ=pq·(anqn+

第③步:写出数列{an}的通项公式.

对点训练

已知数列{an}中,a1=56,an+1=13an+(12)n+1,则an

【解析】方法一:构造数列an+1+λ(