第六章　第二节　平面向量的基本定理及坐标表示.docx

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第二节平面向量的基本定理及坐标表示

【课标解读】

【课程标准】

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

4.能用坐标表示平面向量共线的条件.

【核心素养】

数学抽象、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向

考法

高考在本节以考查基础题为主,考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算,常以选择题或填空题的形式出现.

预测

平面向量基本定理及其应用及坐标表示和运算仍是考查的热点,题型仍将是选择题或填空题.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.平面向量基本定理

条件

e1,e2是同一平面内的两个不共线向量

结论

对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2

基底

若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

微点拨基底{e1,e2}必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.若基底给定,则同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的坐标运算

(1)平面向量的加法、减法、数乘及向量的模

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),

则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),

λa=(λx1,λy1),|a|=x1

(2)两点间的向量坐标公式

已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x

(3)单位向量

a=(x,y),同向单位向量为xx2+

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b?a=λb(λ∈R)?x1y2=x2y1.

微点拨只有x2y2≠0时,a∥b才与x1x2=y

常用结论

1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(x1+x22,y1+y22);已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则

2.如果对于一个基底e1,e2,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

高考

题号

1

2

4

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)在△ABC中,{AB,CA}可以作为基底.(√)

(2)平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标都不变.(√)

(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(√)

(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成x1x2=y1y2

提示:(4)若b=(0,0),则x1x2=

2.(必修第二册P31例7·变条件)已知a=(4,2),b=(3,y),且a∥b,则y的值为()

A.12 B.32 C.6

【解析】选B.因为a∥b,所以4y=2×3,所以y=32

3.(2023·上海高考)已知向量a=(3,4),b=(1,2),则a-2b=.?

【解析】因为向量a=(3,4),b=(1,2),所以a-2b=(3-2×1,4-2×2)=(1,0).

答案:(1,0)

4.(忽视共线包括两种情况致误)已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,则点P的坐标为.?

【解析】由点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,可得AP=2PB或AP=-2PB.当AP=2PB时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-53,b=8

此时点P的坐标为(-53,83

当AP=-2PB时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).

综上,点P的坐标为(-53,83

答案:(-53,8

【核心考点·分类突破】

考点一平面向量基本定理及其应用

[例1](1)(多选题)如图,正方形ABCD中,E为AB中点,M为线段AD上的动点,若BM=λBE+μBD,则λ+μ的值可以是()

A.32 B.12 C.1

【解析】选ACD.因为M在线段AD上,设AM=kAD,

其中0≤k≤1,则BM-BA=k(BD-BA),所以BM=(1-k)BA+kBD,

因为E为BA的中点,则BA=2BE,所以BM=2(1-k)BE+kBD,

又因为BM=λBE+μBD,且BE,BD不共线,则λ=2

所以,λ+μ=2(1-k)+k=