第九章　第五节　第3课时　直线和椭圆.docx

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第3课时直线和椭圆

【核心考点·分类突破】

考点一直线与椭圆位置关系的判断

[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆x28+y22=1与直线y=k(

A.相离 B.相交

C.相切 D.无法确定

【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交.

(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.

①无公共点;

【解析】①依题意,联立y=

消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,

所以Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14400,

要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144无公共点,

则Δ0,即-576m2+144000,解得m-5或m5,

所以当m-5或m5时,直线和椭圆无公共点.

②有且仅有一个公共点;

【解析】②要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有且仅有一个公共点,

则Δ=0,即-576m2+14400=0,解得m=±5,所以当m=±5时,直线和椭圆有且仅有一个公共点.

③有两个公共点.

【解析】③要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有两个公共点,

则Δ0,即-576m2+144000,解得-5m5,

所以当-5m5时,直线和椭圆有两个公共点.

解题技法

判断直线与椭圆位置关系的方法

(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.

(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共点个数.

对点训练

1.直线y=2x-1与椭圆x29+y2

A.相交 B.相切

C.相离 D.不确定

【解析】选A.因为029+(-1)2

因为y=2x-1恒过点0,-1,所以直线y=2x-1与椭圆x29

2.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y2

A.至多为1 B.2

C.1 D.0

【解析】选B.由题意知4m2+

所以点P(m,n)在椭圆x29+

故所求交点个数是2.

【加练备选】

已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:x216+y24=1,则直线l与椭圆

A.相离 B.相切

C.相交 D.无法确定

【解析】选C.由直线l:kx+y+1=0,得直线l过定点(0,-1),

因为016+141,所以该点在椭圆C:x216

所以直线l与椭圆C相交.

考点二直线与椭圆相交的有关问题

角度1弦长问题

[例2]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),离心率是3

(1)求椭圆C的标准方程;

【解析】(1)由题意可得ca=3

所以椭圆C的标准方程为x216+

(2)若直线l:x+2y-2=0与椭圆相交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.

【解析】(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

联立x+2y-2=0x2

显然Δ0,故x1+x2=2,x1x2=-6,

所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1

所以S△OAB=12·d·|AB|=12×25×35=7,所以△OAB

解题技法

1.弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.

(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则

①|AB|=1+k2|x1-x2|=

②|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1

2.弦长公式的运用技巧

在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程也很讲究.

(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;

(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a可以减小运算量,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.

提醒:联立直线与曲线方程后得到一元二次方程,一定要考虑判别式Δ.

角度2中点弦问题

[例3](一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l

【解析】方法一:设直线l的方程为xm+yn=1(m0,n0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段

所以x1+

因为kAB=kMN,所以y1-y2x

将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,

得x126+y

由题意知x1+x2≠0,x1≠x2