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数学试题解题方法及公式定理--第1页

数学试题解题方法及公式定理

利用x^2+p+qx+pq=x+qx+p其中PQ为常数;x^2是X的平方

1.因式分解

即和差化积,其最后结果要分解到不能再分为止;而且可以肯定一个多项式要能分解因式,则

结果唯一,因为：数域F上的次数大于零的多项式fx,如果不计零次因式的差异,那么fx可以

唯一的分解为以下形式：

fx=aP1k1xP2k2x…Pikix,其中α是fx的最高次项的系数,P1x,P2x……Pix是首1互不相等的

不可约多项式,并且PixI=1,2…,t是fx的Ki重因式;

或叫做多项式fx的典型分解式;证明：可参见高代P52-53

初等数学中,把多项式的分解叫因式分解,其一般步骤为：一提二套三分组等

要求为：要分到不能再分为止;

2.方法介绍

提公因式法：

如果多项式各项都有公共因式,则可先考虑把公因式提出来,进行因式分解,注意要每项都必

须有公因式;

例15x3+10x2+5x

解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x,接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解;

解：原式=5xx2+2x+1

=5xx+12

公式法

即多项式如果满足特殊公式的结构特征,即可采用套公式法,进行多项式的因式分解,故对于

一些常用的公式要求熟悉,除教材的基本公式外,数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理

归纳如下：

a2-b2=a+ba-b

a2±2ab+b2=a±b2

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a3+b3=a+ba2-ab+b2

a3-b3=a-ba2+ab+b2

a3±3a2b+3ab2±b2=a±b3

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a+b+c2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=a1+a2+…+an2

a3+b3+c3-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-ac-bc

an+bn=a+ban-1-an-2b+…+bn-1n为奇数

说明由因式定理,即对一元多项式fx,若fb=0,则一定含有一次因式x-b;可判断当n为偶数时,

当a=b,a=-b时,均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b,a-b因式;

例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15

解析各小题均可套用公式

解①64x6-y12=8x3-y68x3+y6

=2x-y24x2+2xy2+y42x+y24x2-2xy2+y4

②1+x+x2+…+x15=

=1+x1+x21+x41+x8

注多项式分解时,先构造公式再分解;

分组分解法

当多项式的项数较多时,可将多项式进行合理分组,达到顺利分解的目的;当然可能要综合其

他分法,且分组方法也不一定唯一;

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=x15+m12+m9+m6+m3+1

=m12m3+1+m6m3+1+m3+1

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=m3+1m12+m6++1

=m3+1m6+12-m6

=m+1m2-m+1m6+1+m3m6+1-m3

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根据系数特征进行分组

解原式=x4-9+5x3+15x

=x2+3x2-3+5xx2+3

=x2