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互成角度的两个平面镜成像--第1页
精心整理
两个互成角度的平面镜成像规律的研究
一、从教学中引出的问题及思考
题1：如图1，两平面镜MM平行且两镜ＭＭ
１、２１２
面相对，两镜间一物点S到M距离3cm，到
１
M距离7cm，求离S点最近的5个像的位置。
２
题2：如图2，两平面镜镜面的夹角为此60°，
两镜面间有一物点S，S一共可成几个像？
上述两题，均可以通过作图法分析得出答案。图1
但是，作图难免有误差，因此，作出像点的位置
就不很准确，甚至会使作图得到的成像个数与实
际不符，其次，两镜面所成夹角的大小有无数种图２
情况，不可能对每一角度都作图分析，特别是当
两镜面夹角很小时，所成像的个数很多，若采用
作图法更加困难，且不准确。图2
如何通过计算式确定每一像点的位置，每一像点的位置及成像的个数与镜面夹角有何关
系呢？对此问题，我查阅课本、教参书及其他有关资料，都找不到有关这一问题的论述。
因此，我反复对这一问题进行实验和研究。
二、对两平面镜组合成像规律的研究
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互成角度的两个平面镜成像--第1页
互成角度的两个平面镜成像--第2页
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通过实验发现，当两镜面夹角θ在0°到180°间变化时，θ越大，像的个数越少。对此，
我曾试图应用《平面几何》有关边角关系、利用《平面解析几何》知识，建立平面直角
坐标系及两点间的距离公式、点到直线距离公式、两直线垂直关系求垂足坐标等方法来
研究本问题，结
果都因为计算太繁杂，无法找出其规律，于是我改用《平面解析几何》中的极坐标知识
来讨论，比较简便地得出其规律，下面介绍其推导过程。
设两平面镜M、M镜面夹角为θ（单位为度，本文所述角度均以度为单位，0°≤
１２
θ≤180°），两镜面间有一物点S，分别通过两镜面的直线相交于0点，且使这两直线
及物点S也处于同一平面上，令OS
＝R，OS与M的镜面夹角为α，建立如下极坐标系：以O点为极点，以通过M的射线
１１
OM为极轴（如图3），根据平面镜成像的特点，则物点S及各像点S、S、S、S、…….
１1234
的极坐标标示如图（图中用奇数下标表示的像点S、S、S、S、……为通过平面镜M
1357１
所成的像点，用偶数下标表示的像点Ｓ、Ｓ、Ｓ、Ｓ、……为通过平面镜Ｍ所成的
2468２
像点）。
１、各像点的位置
由图可以看到，物点Ｓ和各像点Ｓ、Ｓ、Ｓ、Ｓ、……都在以Ｏ为圆心，半径为Ｒ的
1234
圆周上，各像点的位置可以用极坐标的极径和极角确定，各像点的极角如下表（表中ｎ
＝3，7，11，15，……等奇数）。且像点Ｓ与Ｓ的极角互为相反数。
nn-1
像点极角像点极角
Ｓ－α
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