高中总复习二轮文科数学精品课件 第1部分 思想方法研析指导 三、数形结合思想.ppt

三、数形结合思想第一部分

内容索引0102思想方法?聚焦诠释高频考点?探究突破03预测演练?巩固提升

思想方法?聚焦诠释

高考命题聚焦数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.

思想方法诠释1.数形结合思想的含义数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题.

2.数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系.(2)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.(3)构建立体几何模型研究代数问题.(4)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(5)构建方程模型,求根的个数.3.实现数形结合的渠道(1)实数与数轴上点的对应;(2)函数与图象的对应;(3)曲线与方程的对应;(4)以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,如复数、三角、空间点的坐标等.

高频考点?探究突破

命题热点一利用数形结合求函数零点的个数【思考】如何利用函数图象解决函数零点的个数问题?例1若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A.3 B.4C.5 D.6A

解析:由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,可知关于导函数的方程f(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根x1,x2,则方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有两个不等的实根,即f(x)=x1或f(x)=x2,原方程根的个数就是这两个方程f(x)=x1和f(x)=x2的不等实根的个数之和,若x1x2,作y=x1,y=x2与f(x)=x3+ax2+bx+c的图象有三个不同交点,如图①.即方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有三个不同的实根.若x1x2,如图②,同理方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有三个不同实根.

题后反思因为方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思想讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.

对点训练1已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.?(1,4)(1,3]∪(4,+∞)

当x≥2时,f(x)=x-40,解得x4,∴2≤x4.当x2时,f(x)=x2-4x+30,解得1x3,∴1x2.综上可知,1x4,即f(x)0的解集为(1,4).分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1λ≤3或λ4.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).

命题热点二利用数形结合求参数范围及解不等式【思考】如何利用函数图象解决不等式问题?函数的哪些性质与函数图象的哪些特征联系密切?D

题后反思在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.(1)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.(2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高点、最低点的纵坐标.

对点训练2(2022广西浦北中学高三检测)已知f(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f(x)=-f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=0,若不等式f(x)-k0的解集中恰有三个整数,则实数k的取值范围是()D

所以[f(x)+f(x)]ex=1,即[exf(x)]=1,设g(x)=exf(x)=x+c(c为常数),令x=0,可得c=0