一类带干扰有副索赔的完全离散风险模型-破产时刻.docx

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一类带干扰有副索赔的完全离散风险模型

破产时刻

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论文导读:：本文建立新的风险模型，同时考虑干扰项和副索赔，对此模型给出了破产概率所满足的一般表达式和破产概率上界.

论文关键词：破产时刻，破产概率，条件概率，破产概率上界.

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0引言

经典风险模型未考虑到随机因素对盈余的影响，且不存在相依副索赔；文献[1]给出了经典模型破产概率所满足的表达式以及Lundberg上界，文献[2]和[3]在经典模型中加入了干扰项，分别得到了有干扰项时破产概率的表达式和Lundberg上界，文献[4]在经典模型基础上考虑了带有副索赔的情形，本文在此基础上，同时考虑干扰项和副索赔，重新建立了一个完全离散的风险模型，其中干扰项为一离散的布朗运动，以往文献中的干扰项一般都是连续的布朗运动.对此模型给出了破产概率所满足的一般表达式和破产概率上界.

1模型建立

考虑一个主索赔，一个与主索赔相关的副索赔和一个干扰项，当主索赔发生，且（阀值）时，即发生副索赔.定义如下风险模型：

其中：破产时刻，为保险公司初始准备金，为保费率，为离散的布朗运动，满足（1），（2）有平稳独立增量，（3）对每一个，服从正态分布，均值为，方差为，为正常数.

，，相互独立，且主索赔序列独立同分布，副索赔序列独立同分布，，，，.对于任意分布函数，记.

记破产时刻，破产概率为.

为保证保险公司的稳定经营，假定

定义调节系数为下列方程的正数解：.

引理2.1方程存在一正解.

证明：考虑如下两式

（1）

（2）

当时，（1）式为，于是函数在处某邻域内单调递减；并且（2）式表明函数的图形是凸的，于是在上必存在一，使得.示意图如下：

定理2.1对于上述模型有：

证明：利用条件期望有：

（3）

因，（3）式左端为：

同时也可写为（4）

取使得，将（4）式代入（3）式，有

同理

则（3）式可化为

（5）

当时，（5）式右端第一项

下面证明破产时刻，当时，（5）式右端第二项收敛于零

首先给出，

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利用上述均值和近似方差将（5）式右端第二项拆成两项进行考虑

再由切比雪夫不等式，有

可得

即，当时，（5）式右端第二项收敛于零

于是在（5）式令，则（5）式变为

因此，，得证.

推论2.1.

证明：由于,所以总是有

，则，得证.

注：在经典模型中，若理赔额存在上界，则有（见文献[5]），但在本文模型中由于有干扰项的存在，即使主索赔和副索赔总额存在上界，也不一定成立.

参考文献：

[1]BowersNL.郑韫瑜译.风险理论.上海:上海科学技术出版社,1998.

[2]Dufresne,F.andGerber,H.U.,1991,RisktheoryforthecompoundPoissonprocessthatisperturbedbydiffusion.Insurance:MathematicsandEconomics,10,51-/59.

[3]Schmidli,H.,1995,Cramer_/Lundbergapproximationsforruinprobabilitiesofriskprocessesperturbedbydiffusion.Insurance:MathematicsandEconomics,16,135-149.

[4]王文波，王慧丽，殷春武.一类相依索赔离散风险模型研究.纯粹数学与应用数学，2008，24（2）：388-395

[5]熊福生.风险理论.武汉大学出版社，2005.

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-全文完-