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实数全章复习与巩固(提高)

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,有序实数对与平面上的点一一对应;了解数的范围由有理数扩大为实数后,概念、运算等的一致性及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

【知识网络】

【要点梳理】

【高清课堂:389318实数复习,知识要点】

要点一、平方根和立方根

类型

项目

平方根

立方根

被开方数

非负数

任意实数

符号表示

性质

一个正数有两个平方根,且互为相反数;

零的平方根为零;

负数没有平方根;

一个正数有一个正的立方根;

一个负数有一个负的立方根;

零的立方根是零;

重要结论

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分:

实数

按与0的大小关系分:

实数

要点诠释:(1)所有的实数分成三类:有限小数,无限循环小数,无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类:①开方开不尽的数,如,等;

②有特殊意义的数,如π;

③有特定结构的数,如0.1010010001…

(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式.

(4)实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质:

在实数范围内,正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式:

(1)任何一个实数的绝对值是非负数,即||≥0;

(2)任何一个实数的平方是非负数,即≥0;

(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即().

非负数具有以下性质:

(1)非负数有最小值零;

(2)有限个非负数之和仍是非负数;

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

4.实数的运算:

数的相反数是-;一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序:先乘方、开方、再乘除,最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较:

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;

法则2.正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小;

法则3.两个数比较大小常见的方法有:求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法.

【典型例题】

类型一、有关方根的问题

【高清课堂:389318实数复习,例1】

1、(2015春?仙桃校级期末)一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a,求a和x的值.

【思路点拨】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a=0,进而求出a的值,即可得出x的值.

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