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题组层级快练(三十二)
1．(2024·湖北黄石一中开学考试)在△ABC中，D是边BC上一点，AD＝5，AC＝7.
(1)若DC＝3，B＝45°，求AB；
(2)若D为BC中点，且AB＝eq\r(19)，证明：∠ADC＝2∠ADB.
2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若△CDE的面积为eq\f(\r(3),2)，求DE的长；
(2)若eq\r(7)CF＝4DF，求sin∠DFC.
所以cosθ＝eq\f(\r(3),\r(7))，所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),\r(7))＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,\r(7))＝eq\f(3\r(21),14).
3.如图，平面四边形ABCD的顶点均在圆O上，∠D＝eq\f(2π,3)，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sinA－sinC)sinA＋sin2C＝sin2B，a＝2，b＝3.
(1)求sin∠ACB；
(2)求△ACD的面积的最大值．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\r(3)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－B))＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，S△ABC＝eq\f(15\r(3),4).
①求sinA的值；
②求∠ABC的平分线BD的长．
5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos(B－C)＝(2eq\r(3)csinB－a)cosA.
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且外接圆的半径为eq\r(3)，求eq\f(b2＋a2,b)的取值范围．
6.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.
(1)若∠ABC＝30°，求DC.
(2)记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积S有最小值？求出最小值．
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