复合函数相关性质和经典例题.doc

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定义由函数和所构成的函数称为复合函数，其中通常称为外层函数，称为内层函数。

求上述复合函数的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：

写出构成原复合函数的外层函数和内层函数；

求外层函数的单调区间（包括增区间和减区间）等；

令内层函数，求出的取值范围；

若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间；

根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数在集合或这些单调子区间的增减性；

令内层函数，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数还有更多的单调区间、，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。

设单调函数为外层函数，为内层函数

(1)若增，增，则增.

(2)若增，减，则减.

(3)若减，减，则增.

(4)若减，增，则减.

结论：同曾异减

例1.求函数的单调区间.

解题过程：

外层函数：

内层函数：

内层函数的单调增区间：

内层函数的单调减区间：

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：

复合函数的减区间为：

求函数的单调区间.

解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；

易知是外层函数的单调减区间；

令，解得的取值范围为；

解题过程：

外层函数：

内层函数：

由图知：

内层函数的单调增区间：

内层函数的单调减区间：

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：

复合函数的减区间为：

结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单调增区间，是其单调减区间；

于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，是原函数的单调减区间，是原函数的单调增区间。

例2.求函数的单调区间.

解题过程：

外层函数：

内层函数：

由图知：

内层函数的单调增区间：

内层函数的单调减区间：

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：

复合函数的减区间为：