2024年秋高二上学期北师大版(2019)开学摸底考试数学试卷-A卷(含解析).docxVIP

2024年

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高二上学期北师大版(2019)开学摸底考试数学试卷A卷

【满分：150】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1.已知复数z满足,则()

A. B. C. D.

2.在中，，，点M在边上，且满足，则()

A. B.1 C.2 D.

3.已知锐角,满足,则()

A. B. C. D.

4.设l,m是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题正确的是()

A.若,,,则 B.若,,,则

C.若,,,则 D.若,,,则

5.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,.若,则角C的大小为()

A. B. C. D.

6.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为,往杯盏里面放入一个半径为的小球,要使小球能触及杯盛的底部（顶点）,则最大值为()

A. B. C. D.

7.已知函数的部分图象如图所示,且,则()

A. B.

C. D.

8.已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，，，则此球的表面积等于()

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.

9.已知,,则下列结论正确的是()

A. B.C. D.

10.下列说法正确的是()

A.直线的倾斜角范围是

B.若直线与直线互相垂直,则

C.过两点,的直线方程为

D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

11.如图，在棱长为2的正方体中，P在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有()

A.

B.

C.直线与平面所成角的最大值是

D.的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量,,若,则___________.

13.已知三棱锥的四个顶点在半径为的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则________.

14.已知双曲线，圆与x轴交于A，B两点，M，N是圆O与双曲线在x轴上方的两个交点，点A，M在y轴的同侧，且AM交BN点C，若，则双曲线的离心率为______.

四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）回答下列问题.

(1)已知,,求的值;

(2)已知,求的值.

16.（15分）已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于2.

（1）求圆C的标准方程；

（2）求圆C截直线所得弦长；

（3）若是圆C上的一个动点，求的最小值.

17.（15分）已知向量，，，.

（1）若A，B，C三点共线，求m的值；

（2）若四边形为矩形，求的值.

18.（17分）如图,在直三棱柱中,D为AC中点.

(1)求证：平面;

(2)若,,且,求三棱锥的体积.

19.（17分）如图,单位圆与x轴交于A,B两点,C为圆上一动点,.

（1）若,设点D为线段OA上的动点,求的最小值:

（2）若,向量,.求的最大值及对应的值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由,得,即,解得,所以.

2.答案：B

解析：由已知得

故选B

3.答案：A

解析：因为,

所以,

又因为,为锐角,则,,

而在上单调递减,从而,即.

故选:A.

4.答案：B

解析：对于A,若,,,此时l与m可能相交,如下图所示：

对于C与D,若,,,则与均可能发生,如下图所示：

对于B,若,,则,

又因为,故.

故选：B.

5.答案：C

解析：在中,由,,,得,

整理得,由余弦定理得,而,

所以.

故选：C.

6.答案：C

解析：以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,依题意可得A的坐标为,设抛物线的标准方程为,则,

解得,故该抛物线的标准方程为,

设小球大圆圆周方程,

联立方程组,解得或,

要使小球能触及杯盛的底部（顶点）,则小球与杯子有且只有一个交点,

就是抛物线的顶点,所以或无效,

考虑到抛物线不可能在x轴下方,所以不成立,即,

所以,解得,所以r最大值为.

故选：C.

7.答案：C

解析：由图可知,,解得,函数,

又由,,,,

只有时满足题意,可得,又由,可得,

故有,

故选：C.

8.答案：B

解析：如图底面三角形的外心是，，

在中，，

可得，

由正弦定理可得外接圆半径，

设此圆圆心为，球心为O，在中，

易得球半径，

故此球的表面积为

故选：B.

9.答案：ABD

解析：由①,以及,

对等式①两边取平方得,②,

,,由②,,

由①②,可以看作是一元二次方程的两个根,

解得,,

故A正确,B正确,C错误,D