反常积分敛散性的判别通用课件.pptVIP

§2无穷积分的性质及收敛判别本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法

定理11.1(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分极限的柯西准则,此等价于

根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.为任意常数,则

h(x)在任意[a,u]上可积,且收敛,由柯西准则的必要性,

二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f在任何

从而F(u)是单调递增的增函数的收敛判别准则,定理11.3(比较判别法)设定义在非负函数f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且存在满足

第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.

推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且

上的非负函数,在任何有说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.

以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.定理11.4(绝对收敛的无穷积分必收敛)若f在任何有限区间[a,u]上可积,

由柯西准则的必要性,对

§3瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质与收敛判别,与无穷积分的性质与收敛判别相类似.因此本节内容大都是罗列出一些基本结论,并举例加以应用,而不再进行重复论证.

解

别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.

由g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的

由狄利克雷判别法推知另一方面，