“8+4+4”小题强化训练（19）（新高考地区专用）(解析版）.docx

2024届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(19)

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数，则（）

A.2 B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，所以，故，

故选：D.

2．设集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】，即，则，解得，

所以，，

所以，从而.

故选：D.

3．从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（）

A.33 B.45 C.84 D.90

【答案】B

【解析】.

故选：B

4．已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为，所以，即，

又，为单位向量，则，，

所以向量在向量方向的投影向量为.

故选：C.

5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

【答案】C

【解析】对于A，可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，可能相交或平行，故B错误，对于D，可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，

故选：C

6．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】如下图构建平面直角坐标系，且，，，

所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为，

而，故，

综上，只需求出定点与圆上点距离平方范围即可，

而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为，

所以.

故选：B

7．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（）

A B. C. D.

【答案】D

【解析】如图

令，则，则，

，则

周长

，

故选：D．

8．已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心、为半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

连接交于，由题意知，，，，，，

在中，，，，所以，，

因为，，所以，

，，所以，整理得，即，整理得，

设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，则（）

A.函数为偶函数

B.曲线对称轴为

C.在区间单调递增

D.的最小值为

【答案】AC

【解析】

，

即，

对于A，，易知为偶函数，所以A正确；

对于B，对称轴为，故B错误；

对于C，，单调递减，则

单调递增，故C正确；

对于D，，则，所以，故D错误；

故选：AC

10．过抛物线：的焦点作直线交于两点，则（）

A.的准线方程为

B.以为直径圆与的准线相切

C.若，则线段中点的横坐标为

D.若，则直线有且只有一条

【答案】BCD

【解析】对于选项A:由抛物线：，可得解得，故准线方程为，故选项A错误；

对于选项B:设的中点为,且在准线上的投影为，

由抛物线的定义可知：,

易知四边形为直角梯形，所以,

故以为直径的圆与的准线相切，故选项B正确；

对于选项C:设，

因为，

所以，所以线段中点的横坐标为，故选项C正确；

对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得，要使，

则线段为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D正确.

故选：BCD.

11．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（）

A. B.当n为奇数时，

C.数列为等比数列 D.数列的前项和小于

【答案】ACD

【解析】对于A，因为，，，所以，故A正确；

对于B，由于，故B错误；

对于C，因为小于的所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个，

所以，因此数列为等比数列，故C正确；

对于D，同理小于的所有3的倍数与均不互质，共有个，

因此小于的所有与互质的数共有个，即，

所以，令，

则，故D正确，

故选：ACD.

12．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（）

A.直线与所成的角为60°

B.过空间中一点有且仅有两条直线与所成的角都是60°

C.过，，三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为

D.过直线的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形

【答案】ACD

【解析】对于A，如图所示，连接，

因为，