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实变函数课程教学大纲

一、课程说明：

1、课程性质：

本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进

一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数

论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。

它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题

课17课时。2、本课程的教学目的与要求：

通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个

基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。并且在一定程度上掌握

集的分析方法。

通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力

的培养。在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识

的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教

学实践能用较高的观点处理中学教材。为培养成人师范学生较强的教学能

力打下坚实的基础。

3、先行或后继课程：

实变函数是第五学期开设的专业必修课。是在数学分析的基础上发展

而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。它的后

继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。

4、教学时数分配表：

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章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数

第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第

五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续

变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配

选学)415110

Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel

集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续

变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第

三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的

关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第

四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与

Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积

分685、使用教材：

普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著

《实变函数论》。

6、教学方法与手段：

本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分

理论，以

Lebegue测度与积分作为特例；其二是着重介绍Lebegue测度和积分

理论，而后简

述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。

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知识点的理解。也可以帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思

路。

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7、考核方式：闭卷笔试。8、主要参考书目：

《实变函数论与泛函分析》,夏道行,严绍宗等人主编,高等教育出版

社。《实变函数》,将泽坚主编，高等教育出版社。

《实变函数论》，曹广福主编，高等教育出版社，2000年。

二、本课程内容：

第一章集合与点集

第一节（1课时）集合与子集合

1、教学目的和要求：理解集合的概念，分清集合的元与集合的归属

关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、教学要点与知识点：集合的元素、集合的表示；集合的包含与相

等；空集;子集，真子集。介绍近代数学的基础-集合与映射等有关概念。

3、教学重点与难点：近代数学的基础-集合与映射等