提高专题6 比较大小问题 专题讲义-2024届高三数学二轮复习.docx

探究一指数式、对数式背景下的大小比较提高专题6比较大小问题

探究一指数式、对数式背景下的大小比较

【方法储备】

思路一：根据指数、对数的结构判断

底数不同，指数相同，可考虑幂函数的单调性；底数相同，指数或对数不同，可考虑指数函数或对数函数的单调性；底数不同、指数或对数都不同，可借助中间数，或者利用对数运算、基本不等式、不等式的性质综合判断.

思路二：构造函数

=1\*GB2⑴通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；=2\*GB2⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性比较大小.

【典例精讲】

例1.(2023·湖北省孝感市联考)已知a=ln3，b=log113，现有如下说法：=1\*GB3①a2b;=2\?GB3②a+b3ab;

解：依题意，a=ln3=loge3，2b=2log113=log113

1a+1b=log3e+log311=log

1a

故b?a?ab，故=3\*GB3③正确.故填=2\*GB3②=3\*GB3③.

例2.(2023·四川省宜宾市模拟)已知a=6ln5，b=7ln4，

A.abc B.acb C.bca D.cba

解：?a=6ln5?，?b=7ln4?，?c=8ln3?，

两边取对数得：?lna=

令?fx=lnx?ln11?x

则?fx=

令?g(x)=11?xln11?x?xln

则?g

所以?g(x)?在?3,5?上为减函数，

所以?gx≥g

故?fx=11?xln11?x?x

故?fx=lnx?ln11?x

所以?f3f4f5?

即?lncln

因为?y=lnx?在?0,+∞?上单调递增，所以?cba

故选：A

【拓展提升】

练1-1(2023·江苏省盐城市模拟)已知函数f(x)的导函数f(x)=x3，a=f(log21

A.abc B.bca C.bac D.acb

解：因为f(x)=x3，则f(x)=14x4+C，

当x∈0,+∞时，fx0，f(x)单调递增，

且f(x)为偶函数，

a=f(log213)=f(?log23)=f(log23)，b=f(2?34

练1-2(2023·吉林省吉林市模拟)设p=1e,q=ln3

A.pqr B.prq C.rpq D.rqp

解：由p=1

令函数fx=ln

当x∈(0,e)，可得fx0，

当x∈(e,+∞)，可得fx0，

所以当x=e，函数fx取得极大值，即为最大值fx=1e，

且当x→0时，f(x)→?∞

函数y=fx的图形，如图所示，

对于函数fx=lnxx，当f

设fe23

则x0?e23e2，可得

所以pqr．

故选：A．

探究二

探究二与函数交汇下的大小比较

【方法储备】

思路一：单调性法

=1\*GB2⑴对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；

=2\*GB2⑵有解析式函数，可以通过函数性质或者导数等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小.

思路二：放缩法

=1\*GB2⑴对数：利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

=2\*GB2⑵指数和幂函数结合放缩；

=3\*GB2⑶利用均值不等式的不等关系进行放缩；

=4\*GB2⑷“数值逼近”：对于一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数，那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。

=5\*GB2⑸利用切线不等式放缩：

ex

如a=0.1e0.1,b=19

x∈0,1→e

【典例精讲】

例3.(2023·河南省洛阳市模拟)已知a=25，b=e?35，c=ln5?

A.abc B.acb C.bac D.bca

解：令f(x)=ex?1?x，fx=ex?1，

当x0时，fx0，则函数f(x)单调递增；当x0时，fx0，则函数f(x)单调递减；

所以f(x)≥f(0)=0，所以?ex≥1+x，

所以?e?351+(?35)=25，所以ba，

令g(x)=ln(1+x)??x，gx=11+x?1，

当

例4.(2023·浙江省金华市模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)?x，设a=f(110)，b=f(?e?910)，c=f(

A.abc B.acb C.cab D.bac

解：f(x)=log3(9x+1)??x=log39x+1+log33?x=log33x+3?x

∵f(?x)=log33?x+3x=f(x)，

∴f(x)为偶函数，

当x∈(0,+∞)时，

fx=13