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《直线和圆的位置关系》
课堂小结直线与圆的位置关系定义性质判定相离、相切、相交公共点的个数d与r的数量关系定义法性质法相离:dr相切:d=r相交:dr0个:相离;1个:相切;2个:相交dr:相离,d=r:相切dr:相交相离:0个相切:1个相交:2个
知识点1新知探究如图,在⊙O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l和⊙O有什么位置关系?·A∵OA为⊙O的半径,且OA⊥l,∴l为⊙O的切线.∴d=r,
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于ABC为⊙O的切线ABC切线的判定定理数学表示O注意:应用该定理时,两个条件缺一不可:一是经过半径的外端;二是垂直于这条半径.
O.AO.ABAO(1)(2)(3)判断下面的直线是不是圆的切线:
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法:1.定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.2.数量关系法:圆心到这条直线的距离等于半径,即d=r.3.判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AlOlrdAOlAO
切线判定常用的证明方法:(1)有切点,连半径,证垂直.如果已知直线经过圆上的一点,那么连接这点和圆心,得到半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可.(2)无切点,作垂直,证半径.如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径即可.
1.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°.求证:CD是⊙O的切线.解:如图,连接OC.∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠COD=60°,∴∠OCD=90°,即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线.跟踪训练新知探究点在圆上,连半径,证垂直
2.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.求证:AC是⊙O的切线.证明:如图,作OE⊥AC于E,连接OD..OADBC无切点,作垂直,证半径,E∴∠OEC=90°.∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB.∴∠ODB=90°=∠OEC.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵O是BC的中点,∴OB=OC.∴△OBD≌△OCE(AAS),∴OD=OE.∴AC与⊙O相切.
如图,如果直线l是⊙O的切线,点A为切点,那么OA与l垂直吗?AlO∵直线l是⊙O的切线,A是切点,∴直线l⊥OA.数学表示切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.知识点2新知探究
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直线垂直于CD,垂足为M.(2)则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.CDBOA(3)所以AB与CD垂直.M反证法:切线的性质定理的证明
切线的性质定理的推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
1.如图,AB是⊙O的直径,MN是⊙O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,那么∠NOA的度数为() AA.76° B.56° C.54° D.52°解:∵MN是⊙O的切线,∴ON⊥NM,∴∠ONM=90°,∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°.∵ON=OB,∴∠B=∠ONB=38°,∴∠NOA=2∠B=76°.跟踪训练新知探究有切线,用性质
2.如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,AC交⊙O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于()A.40° B.50° C.60° D.80°D解:∵BC是⊙O的切线,∴∠ABC=90°,∴∠A=90°-∠ACB=90°-50°=40°.由圆周角定理,得∠BOD=2∠A=80°.
3.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面三个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC.其中正确结论的个数是()A.3 B.2C.1 D.0A
1.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD,∠C=40°,则∠ABD的度数是()BA.30° B.25° C.20° D.15°解:∵AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°.∵∠C=40°,∴∠AOC=50°.∵OB=OD,∴∠ABD=∠BDO.∵∠ABD+∠BDO=∠AOC,∴∠ABD=25°.随堂练习
???
3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC
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