湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期（9月）综合自主测试数学试题及答案.docx

雅礼中学2025届高三综合自主测试（9月）

数学

时量：120分钟分值：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一?选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合，，且，则（）

A.6 B.4 C. D.

2.已知，则（）.

A. B. C.2 D.1

3.已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为（）

A.， B.，

C.， D.，

4.函数的图像大致为（）

A. B.

C. D.

5.若平面单位向量，，满足，，，则（）

A. B. C. D.

6.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（）

A B. C. D.

7.已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点为，且，若点在抛物线上，则的最小值为（）

A. B. C. D.

8.已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

二?多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知，直线，且，则（）

A. B. C. D.

10.如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（）

A.存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形

B.当时，三棱锥体积为

C.当时，三棱锥外接球表面积为

D.当时，直线与平面所成的角的正弦值为

11.已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（）

A. B. C. D.

三?填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为______.

13.已知是定义域为奇函数.若以点为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为___________.

14.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则____________.

四?解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.）

15.某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为，参观科技展的学生中女生占．

（1）根据已知条件，填写下列列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．

参观科技展

未参观科技展

合计

男生

女生

合计

（2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示女生人数，求的分布列和数学期望．

参考公式和数据：，其中．

0．1

0．05

0．025

0．01

0．001

2．706

3．841

5．024

6．635

10．828

16.在中，角，的对边分别为，的面积为，．

（1）求角．

（2）若的面积为，，为边的中点，求的长．

17.如图（1），在中，，，点为中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）．

（1）求证：．

（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，说明理由．

18.费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的