圆中的重要模型之翻折（解析版）-初中数学.pdf

圆中的重要模型之翻折模型

圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或

圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不

同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。

模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)

【知识储备】

1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；

2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；

3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的

对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；

4、弧翻折(即等圆相交)：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与

圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。

模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)

1)条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点结论：D，CD=CA

1

2)条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°



1)证明：如图，设折叠后的BDC所在的圆心是G，连接AC，CD.



由题意得(折叠)：BC=BDC，即：BC=BD+DC，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，

∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。

2)证明：如图，连接AC，CD，CO；由1)中证明知：CO=CA，

∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。

1.(23-24九年级上·浙江台州·阶段练习)如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦

AC翻折，交AB于点D(不与点O重合)，连结CD．若∠BAC=24°，则∠ACD的度数为()

A.44°B.46°C.48°D.42°

【答案】D

【分析】本题主要考查圆的基本性质与折叠的性质，掌握圆周角定理及其推论以及折叠的性质，是解题的关键．

先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质和圆内接四边形的

对角互补可得，∠B+∠ADC=180°，继而求得答案．

【详解】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，

2

∵∠BAC=24°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-24°=66°，



根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，

又∵∠CDB+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDB=66°，∴∠DCA=∠CDB-∠A=66°-24°=42°．故选D．

2.(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=8，CD为AB边上的中线，



将BC沿BC翻折后刚好经过点D，若已知⊙O的半径为25，则BC的长是()

A.43B.62C.65D.53

【答案】B

【分析】如图，过点D作DE⊥BC，交⊙O于E，可得点E为点D的对应点，根据折叠点性质可得∠CDB=

∠CEB，根据圆内接四边形的性质及邻补角点定义可得∠CAD=∠CDA，得出CA=CD，过点C作CH⊥

AB于H，过点O作OF⊥CH于F，连接OB、OC，根据垂径定理可得出OD的长，根据“三线合一”可得DH

的长，即可得出四边形OFHD是