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压缩感知理论及应用CompressedSensing(CS)：TheoryandApplications南京航空航天大学电子工程学院张弓

1背景介绍1.1传统采样理论介绍及问题提出1.2压缩感知理论的基本思想2压缩感知理论分析2.1压缩感知的前提2.2压缩感知流程介绍第一步：信号的稀疏表示第二步：观测矩阵的设计第三步：信号重构3压缩感知应用3.1波形信号仿真分析3.2CS图像融合3.3单像素CS相机3.4CS雷达

1背景介绍1.1传统采样理论介绍及问题提出1.2压缩感知理论的基本思想

1背景介绍1.1传统采样理论介绍及问题提出v传统的基于Nyquist采样定理指导下的信息的处理主要表现在两个方面：v1、采样速率需达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信号。这样的采样硬件成本昂贵，获取效率低下，对宽带信号处理的困难日益加剧。v2、在实际应用中，为了降低成本，人们常将采样的数据经压缩后以较少的比特数表示信号，而很多非重要的数据被抛弃，这种高速采样再压缩的方式浪费了大量的采样资源，另外一旦压缩数据中的某个或某几个丢失，可能将造成信号恢复的错误。

1背景介绍v而现实生活中，随着信息技术的高速发展，信息量的需求增加，携带信息的信号所占带宽也越来越大v这就大大考验了数字化社会对信息处理的能力，包括：数据存储、传输和处理速度，基于Nyquist采样的理论遭到严峻的考验。

1背景介绍一个亟待解决的问题：v能否以远低于Nyquist采样定理要求的采样速率获取信号，而保证信息不损失，并且可以完全恢复信号？v即能否将对信号的采样转化为对信息的采样？

1背景介绍1.2压缩感知理论的基本思想v一种新的理论—CompressedSensing(CS,压缩感知，亦称压缩传感)。v由Candes、Romberg、Tao和Donoho等人在2004年提出，2006年才发表文献v基本思想：v1、信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的;v2、就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上;v3、然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。

2压缩感知理论分析2.1压缩感知的前提2.2压缩感知流程介绍2.3第一步：信号的稀疏表示2.4第二步：观测矩阵的设计2.5第三步：信号重构

2压缩感知理论分析2.1压缩感知的前提v稀疏性的定义：v一个实值有限长的N维离散信号论可知，它可以用一个标准正交基，由信号理的线性组合来表示，假定这些基是规范正交的，其中表示矩阵的转置，那么有其中，若在基上仅有个非零系数时，称为信号的稀疏基，是稀疏(K-Sparsity)的。

2压缩感知理论分析vE.Candes等人证明了：信号的稀疏性是CS的必备条件。v信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，这个条件的限制等同于信号带宽对于Nyquist采样定理的约束。

2压缩感知理论分析2.2压缩感知流程介绍v长度为N的信号在正交基上的变换系数是稀疏的；v用一个与基不相关的观测基对系数向量进行线性变换，并得到观测向量v利用优化求解的方法从观测集合中精确或高概率地重构原始信号。

2压缩感知理论分析v如同信号带宽对于Nyquist，信号的稀疏性是CS的必备条件；v如同Nyquist采样规则对于Nyquist-Shannon采样定理，CS的关键是非相关测量（该测量称为测量矩阵），他们都是信号得以精确恢复的条件；v如同Fourier变换对于Nyquist，非线性优化是CS重建信号的手段。

2压缩感知理论分析第一步：信号的稀疏表示v如图是一个稀疏度为3的稀疏变换，基本都是非零值，,在时域v但将其变换到域时，非零值就只有3个了，数目远小于原来的非零数目，实现了信号的稀疏表示。

2压缩感知理论分析如何找到信号的最佳稀疏域呢？v这是压缩感知理论的基础和前提，也是信号精确重构的保证。对稀疏表示研究的热点主要有两个方面：v1、基函数字典下的稀疏表示：v寻找一个正交基使得信号表示的稀疏系数尽可能的少。比较常用的稀疏基有：高斯矩阵、小波基、正（余）弦基、Curvelet基等。Candes和Tao经研究发现光滑信号的Fourier系数、小波系数、有界变差函数的全变差范数、振荡信号的Gabor系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet系数等都具有足够的稀疏性,可以通过压缩感知理论恢复信号。v2、超完备库下的稀疏表示：v用超完备的冗余函数库来取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称之为原子，目的是从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K项原子来逼近表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。

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