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数学建模之——博弈模型重庆邮电大学杨春德教授

宇宙间处处存在矛盾、冲突、争斗、合作、共生等现象，这些现象很很早就引起各类学者的重视。数学被认为是科学的语言，能否用数学语言描述各种带有矛盾因素的模型或现象？o博弈论便是这样一种处理各类带有矛盾因素的模型的数学工具。博弈论现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家广泛应用于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争、进化等问题及相关模型之中。博弈论已成为人们分析复杂系统与作重大决策时的有力工具。

一、博弈论基本概念?世事纷争一棋局o许多冲突模型在游戏中就存在，博弈论早期就是由研究国际象棋开始的，所以被命名为GameTheory。人们很快认识到此种理论可用于经济、政治、军事等领域。o1944年冯·诺曼和奥·摩根斯特恩合著的《竞赛论与经济行为》问世，总结了初期研究成果，奠定了博弈论的基础。由于该理论主要讨论在复杂的矛盾冲突等活动中，局中人（Player）采取何种合理的策略（strategy）而能处于“优越”的地位，以便取得较好效益，所以将它译为博弈论。?博弈论（Gametheory）可以被定义为是对智能的理性决策者之间冲突与合作的数学模型的研究。

常见的游戏如棋类，两人对奕，此两人便称为局中人，他们各有一套棋路，或善于用马，或长于用炮。在每次轮到一方走子时，他可能有许多走法，这些走法依赖于当时棋局形势以及棋手想要达到的目的，以及他惯用的走法，从而形成他走棋的指导思想。对奕时指导棋手行动的思想便称为策略。对局终了可能有三种结局：甲胜；乙胜；和局。如果用数量表示各种结局，例如胜家赢得彩金若干（设所得彩金由输家付给，则输家当然失去若干），和局时都不能取得彩金，此种表示结局的数称为支付（payoff）。局中人、策略、支付是博弈论中常见的基本概念,下面我们将逐一介绍。

（1）参与者o参与者指的是一个博弈中的决策主体，通常又称为参与人或局中人。o参与者参加博弈的目的是通过合理选择自己的行动，以期取得最大化自己的收益（或效用）水平。参与者可以是自然人，也可以是企业、团体、国家，甚至是国家组成的集团（如欧盟、OPEC等）。对参与者而言，在博弈过程中，他必须有不同的行动可作应对选择。在博弈的结局中，他能知道或计算出各参与者不同的行动组合产生的效益（或效用）。n博弈参与者集合一般表示为

（2）战略o战略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规定参与者在什么时候该选择什么行动。或者说。战略是参与者“相机行动方案”。

（3）收益函数o在博弈论中，收益指的是在一个特定的战略组合下参与者得到的确定效用或期望效用。效用通常表现为博弈结果中输赢、得失、盈亏。效用必须能用数值刻画其大小。收益是博弈参与者真正关心的问题。注释：博弈论的一个基本特征是一个参与者的收益不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有参与者的战略选择。或者说，收益是所有参与者各选定一个战略形成的战略组合的函数。o在博弈论中，通常用u表示参与者i的收益，一个战略组合是，每个参与者i的收益可以表示为

参与者、战略、收益函数是标准博弈的三要素。由前面我们对这三要素的分析，可以得到一个标准博弈的定义：o标准博弈的定义：

（4）博弈的解—纳什均衡o注释：研究博弈问题就是建立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用

信息o信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观察到的知识。这些知识包括“自然”的选择，其他参与者的特征和行动等。信息对参与者是至关重要的，因为一个参与者在每一次进行决策之前，必须根据观察到的其他参与者的行动和了解的有关情况作出自己的最佳选择。o由于信息内涵的不同，派生出各种有关信息的概念将博弈论划分成不同的类型，因此寻求博弈间的方法也不同。这里只就信息有关的两个基本的、重要的概念进行讨论。o首先，关于“共同知识”的概念。一个博弈问题所涉及的“自然”的不同选择、参与者的行动以及相应产生的效用（效果、收益）都是一种知识（信息）。博弈论所谓的共同知识指的是“所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道所有参与者知道……”的知识。

为了说明共同知识的重要性，我引用一个众所周知的寓言。故事发生在一个村庄，村里有100对已婚夫妇，他们都是地道的逻辑学家，但也有一些多少有点奇特的社会风俗。每天晚上，村里的男人们都将点起篝火，绕圈围坐举行一个会议，且每个人都谈论自己的妻子。在会议开始时，如果一个男人有理由认为他的妻子对他总是守贞的，那么他就对在坐的男人们赞扬她的美德。另一方面，如果在当前会议之前的任何时间，只要他发现了他妻子不贞的证据，那他就会悲鸣恸哭，并祈求神灵严厉地惩罚她。再则，如果一个妻子曾有不贞，那她和她的情人将会立即通知村里除她丈夫外所有的男人。所有这