第3章控制系统的时域分析[3.4].pptVIP

3.4线性系统的稳定性分析;一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、稳定措施是控制系统的重要内容。

本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响。;线性控制系统稳定性的定义为：;稳定性是表征系统在扰动撤消后自身的一种恢复能力，因而它是系统的一种固有的特性。

指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。;3.4.1线性系统稳定的充要条件

（sufficientandnecessarycondition);如果(3-53)

则系统是不稳定的。

如果(3-54)

则系统是临界稳定的。;由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏变换。

令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则其传递函数可写为;式(3-55)用部分分式展开，得

对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应为;由式(3-56)可见，

若系统的特征根全部为负实部(negativerealpart)根，则式(3-52)成立，系统稳定；

若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式(3-53)成立，系统不稳定；

若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，式(3-54)成立，系统临界稳定。;综上所述，线性系统稳定的充分必要条件是：

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。;注意：

对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。

对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。;3.4.2系统稳定的必要条件

;设–P1、–P2、…为实数根。、、…为复数根。其中，P1、P2、…和、、…都为正值，则式(3-57)改写为

即;因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有系数为零项。

反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复数根，则由式(3-58)可知，对于方程式s的各次项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项???缺项出现。;不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。;3.4.3劳斯稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)

;设系统的特征方程式为

将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表;由劳斯表的结构可知，劳斯表有行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：

(1)如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在s的左半平面(left-halfplane)，相应的系统是稳定的。

(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在的s右半平面(right-halfplane)上的个数。;例3-2已知三阶系统特征方程为

判断系统稳定的充要条件。

解：列劳斯表为

根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且bcad。;例3-3设系统特征方程为

使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。

解：列劳斯表如下

因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。;两种特殊情况：;例3-4设系统的特征方程为

试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。

解：基于方程中s2项的系数为零，s一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表;由上表可见，其第一列项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s的右半平面。

若用因式分解的方法，把原方程改写为

由上式解得s1,2=1，s3=–2，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。;(2)如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根(realroot)和(或)共轭虚根。

对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多