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微积分理论在不等式证明中的应用--第1页
微积分理论在不等式证明中的应用
摘要：根据微积分的相关定理和概念，采用枚举的方式从导数的定义、函数
的单调性、微分中值定理、极值理论和凹凸性等方面归纳总结了微积分知识在不
等式中证明常用的技巧和方法，彰显了不等式证明的基本思想和方法。
关键词：导数；函数单调性；中值定理；极值；凹凸性
Abstract:accordingtotherelatedtheoremandcalculusconcept,theenumeration
methodsfromderivativedefinitionandfunctionofthemonotonicityanddifferential
meanvaluetheorem,extremevaluetheoryandbumpofsummarizesthecalculus
knowledgeininequalityproofofcommonlyusedtechniquesandmethods,revealthe
inequalityproofthebasicideasandmethods.
Keywords:derivative;Functionalmonotonicity;Meanvaluetheorem;Extreme
value;convexity
1.引言
不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很
重要的一种关系。在高等数学中，不等式是证明许多定理与公式的工具。不等式
表达了许多微积分问题的结果，而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等
式。不等式的求解证明方法很多，本文用微积分的一些定理及性质来说明不等式
证明的几种方法与技巧，以便更好地了解各部分内容之间的内在联系，从整体上
更好的把握证明不等式的思想方法。
2.微积分在证明不等式中的应用
2.1用导数的定义证明不等式
从导数、微分、积分定义出发处理不等式，是容易被忽略的，但这种最原始
的方法有时又是一种非常有效的证明方法。
导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限存在，则称函数在
可导，称这极限为函数在点的导数，记作。
证明方法：
(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知
条件去研究。
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适用范围：
用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的
条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将
其形式转化，以达到化繁为简的目的。
2.2利用函数的单调性证明不等式
函数单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函
数，通过对所设辅助函数求导，借助导数符号来判断函数的单调性，从而解决问
题。
定理：若函数在可导，则在内递增（递减）的充要条件是：
.
定理：设函数在连续，在内可导，如果在内（或），那么在上严格
单调增加（或严格单调减少）.
定理：设函数在内可导，若（或），则在内严格递增（或严格递减）.
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一
阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.
证明方法：
（1）构造辅助函数，取定闭区间；
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