2020-2021学年北京市首都师范大学第二附属中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）.doc

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2020-2021学年北京市首都师范大学第二附属中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知复数(其中i为虚数单位)，z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】求得共轭复数表达式，判断所处象限即可.

【详解】由复数表达式知，，对应的点为，处在第三象限；

故选：C

2．若向量，则（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由向量的坐标形式求得，验证与0的关系，判断向量关系，并求得模长进行比较即可.

【详解】由题知，，则，

故，且，故

故选：B

3．函数是

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数

【答案】A

【详解】试题分析：=，所以，又，函数为奇函数．

【解析】二倍角公式，诱导公式．

4．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为

A． B．－ C． D．－

【答案】C

【详解】试题分析：底角为锐角，，即.

【解析】三角恒等变换．

5．设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【答案】B

【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.

【详解】因为，

所以由正弦定理可得，

，

所以，所以是直角三角形.

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

6．在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】由坐标知，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦公式求得结果.

【详解】由A，B坐标知，，

则

故选：D

7．在边长为1的正方形ABCD中，向量，则向量的夹角为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量关系知E为DC的中点，F为BC靠近B端的三等分点，可以求得向量的模长，然后求得数量积，从而求得向量夹角.

【详解】由向量关系知E为DC的中点，F为BC靠近B端的三等分点，

则，，，

则由知，

则

故向量的夹角为

故选：B

8．已知，则“”是“z为纯虚数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】利用复数的定义进行判断即可

【详解】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；

z为纯虚数，故必要性成立；

故答案选：B

9．已知i为虚数单位，下列说法中正确的有（）个

（1）若复数z满足，则复数z対应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上；

（2）若复数z满足，则复数；

（3）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模；

（4）复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据复数在复平面内的几何意义对选项一一分析即可.

【详解】对于（1），若复数z满足，则复数z対应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故（1）错误；

对于（2），若复数z满足，设，则，解得，

则，故（2）错误；

对于（3），复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模，故（3）正确；

对于（4），若，有，

两边同时平方，根据向量运算有，即，故（4）正确；

故（3）（4）正确，共有2个.

故选：B

10．在中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若有两解，则a的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理得，当三角形有两解，则得解

【详解】因为有两解，所以，

故选：B.

【点睛】三角形有两解，由正弦定理得则是解题关键，属于基础题.

二、填空题

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，△ABC的面积S为___________.

【答案】

【分析】由正弦定理、余弦定理化简条件的，代入向量数量积求得，从而代入面积公式求得结果.

【详解】由正弦定理知，，

由余弦定理知，

则，

又

则三角形面积

故答案为：

12．如图，在中，为中点，，，则__________．

【答案】

【分析】分析可知，利用、表示向量，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果.

【详解】，，

，

故答案为