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浅析高中数学解题技巧之“三角代换”

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摘要：三角函数是高中数学学习中的重要内容，其中“三角代换”应用广泛，且形式灵活多样。如何利用三角函数性质和基本三角公式，将其转换为三角问题，进而达到化难为易、化繁为简的目的。本论文以三角代换在高中数学解题中的应用为研究切入点，对其进行了详细的研究和分析。

关键词：三角函数；高中；数学；解题；三角代换

鉴于高中数学知识的具有较强的逻辑性和关联性，在具体的高中数学学习过程中，学生经常会遇到一些结构复杂、变元较多的问题。在这种情况下，学生采用传统的解题方式，解题效果并不十分理想。而在此基础上，通过三角代换的方式，引入一些较新的额变量，并简化其结构，进而可将复杂的问题进行精准、快速的解答。

一、三角代换概述

在进行高中数学问题解答的过程中，学生经常会遇到一些新的问题，或专业难度比较大的问题。在这种情况下，学生必须要明确已知和未知知识之间的内在联系，并对其进一步进行观察和思想，并充分利用数学知识，开展广泛的联想：通过引进一个新的变量，或者对已知条件进行转换，那么复杂的问题就会变得更加简单。这就是换元的主要思想。

作为的换元方法，就是在数学知识的解题过程中，将新变元引进到没有固定的形式中，并将复杂的问题进行简化，进而对数学知识进行更好的解答。在高中数学解题中，三角代换是最为常用的解题技巧，被广泛应用到不等式、函数等问题中，不仅提高了解题的准确率，也大大缩短了解题所用的时间[1]。

二、三角代换在高中数学解题中的具体应用

1、三角代换在求最值中的应用

在高中数学中，求最值尤为常见，学生在解题过程中，也面临着较大的难度。在这种情况下，教师在解题过程中，可充分利用三角代换的形式，充分利用三角函数的知识，将函数中的最值问题进行合理的替换，进而使得函数知识转换为三角函数，并对其进行有效的解决。

例如，在求最大值的时候，就可充分利用三角代换的方式进行解题。

具体解题思路如下：

假设x=sinα，α∈（-π/2,π/2,）

通过这种代换方式，上述例题可变为

因此，当α=π/4时，可取得最大值。

在解答该类题目的时候，通过三角代换的方式，选择三角函数的方式，代替函数变量，将原无理函数进一步转化为三角函数，并利用三角函数的性质，将复杂的问题进行简单化，进而全面提升该类题目的解题正确率和速度。

2、三角代换在不等式中的应用

在高中数学学习中，不等式也是学生学习的重难点，也在一定程度上影响了学生的解题准确率。学生在具体进行不等是相关问题的解决过程中，面对复杂的不等式问题，可充分利用三角代换的方式，将不等式数学知识，转换为三角函数的知识，并在此基础上利用三角函数的有界性、数形结合的思想，对其进行求解。

例如，在，求证的时候，就可充分利用三角代换的形式，对其进行证明。其具体证明思路如下：

从例题中不难看出，通过三角代换的方式，使得原本更加复杂的结构变得更加简单，进而将不等式的知识转换为三角函数的相关知识，并使得学生利用三角函数中的知识，对其进行有效的解答，进而全面提升不等式的解题准确率[2]。

3、三角代换在数列问题中的应用

在高中数学教学中，数列问题占据着十分重要的地位，历来是高考的重难点。结合以往的研究资料娴熟，数列知识在许多数学问题中均出现。通过对该部分知识点而学习，有助于对不等式、方程等问题进行理解，是学生学好数学知识的基础。但是学生在进行数列学习的过程中，常存在较大的难度。面对这种情况，学生在对数列问题进行学习的过程中，可充分利用三角代换的形式，将复杂的知识进行简化，进而不断提升数列知识学习的效率。

例如，在数列满足a0=1/3的时候，求证：是单调数列。

在解该类题目的时候，就可充分利用三角代换的形式，对其进行解题。

4、三角代换在代数证明题中的应用

在高中数学教学中，代数证明题是最为常见的题目类型。但是多数学生片面地认为，代数的本质就是计算，认为学生只要具备较强的计算能力，便可以提高其解题能。但是，学生在具体进行解题的过程中，常常由于解题方式不对，将原本普通的代数题变得更加复杂，使得自己在繁杂的数学解题过程中，出现错误。如此一来，不仅浪费了大量的解题时间，也在一定程度上降低了解题的准确率。

在具体利用三角代换的方式，对代数证明题进行解答的过程中用，学生可充分利用数形转换的方式、数学建模方式、化归思想的方式，对数学证明题进行解决。通过这种有效解题方式，学生不仅要具备高度的抽象数学思维，并将代数公式进行有效的转换，使其变换为图性，并用直观的方式，对其进行有效的解决[3]。

三、三角代换在高中数学解题中应用时注意事项

在高中数学解题中，三角代换是最为常用的一种解题方式。因此，学生在利用该解题方式的过程中，必须要注意以下两个问题：

首先，建立数学思想。鉴于高中数学知识具有较强的抽象性，在进行数学的学习