离散数学课件第六章(第2讲).pptVIP

§3半群与含幺半群《定义》：一个代数系统S,?，S为非空集合，?是S上的二元运算，如果运算?是封闭的，则称代数系统S,?为广群。《定义》：设S,?是一代数系统，S为非空集合，?是S上的二元运算，若 (1)?运算是封闭的。 (2)?运算满足结合律，则称S,?为半群。

例：N,+,N,?,IE,+,IE,?均为半群。《定义》：对于*运算，拥有幺元的半群M,*称为含幺半群或独异点。

例：N,+,N,?均为独异点，而IE,?就不是独异点。例：设S为非空集合，?(S)是S的幂集，则?(S),∪,?(S),∩均为独异点。例：I,max，其中max(x1,x2)取二者之大值；I,min，其中min(x1,x2)取二者之小值，均不为独异点（不存在幺元）。N,max则为独异点，其中e=0《定义》：设S,*是一半群，T?S，且*在T上是封闭的，那么T,*也是半群，称T,*是S,*的子半群。讨论定义：

（1）因为*在S上是可结合的，而T?S且*在T上是封闭的，所以*在T上也是可结合的。（2）S?S，则S,*是S,*的子半群,称S,*是S的“平凡子半群”。《定义》：设*是S上的二元运算,对任一x?S,则：

x1=x，x2=x*x，…，xn=xn-1*x《定理》：设S,*是独异点，则在关于运算*的运算表中一定没有相同的行和列。

证明：（1）xm?xn=(xm?x)?x?…?x=(xm+1?x)?x?…?x

=….=xm+n（2）(xm)n=xm?…?xm=xm+m?xm?…xm=…=xm?n

nn-1《定理》：设*是S上的二元运算,且x?S,对任一m,n?I+有（1）xm?xn=xm+n（2）(xm)n=xm?nnn-1《定理》：设S,*是独异点，对于任意a，b?S，且a，b均有逆元，则1)(a-1)-1=a2)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1证明：1)因为a-1是a的逆元，即 a*a-1=a-1*a=e 所以(a-1)-1=a 2)因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e同理可证：(b-1*a-1)*(a*b)=e 所以(a*b)-1=b-1*a-1§4群与子群1.群的定义《定义》设S,*是一代数系统，S是非空集合，*为S上的二元运算，它满足以下四个条件时，则称S,*为群

（1）*运算是封闭的；

（2）*运算是可结合的； （3）存在幺元e；

（4）S中每一个元素均有逆元。例：I,+,Z3,+3为群（其中Z3={0,1,2}）N,+,I,?不是群，它们是含幺半群(独异点)。例：设M={0o,60o,120o,240o,300o,180o}表示平面上几何图形顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到360o时即为0o，试验证M,*是一个群。*0o60o120o180o240o300o0o0o60o120o180o240o300o60o60o120o180o240o300o0o120o120o180o240o300o0o60o180o180o240o300o0o60o120o240o240o300o0o60o120o180o300o300o0o60o120o180o240o（1）运算是封闭的（2）*是可结合的（3）幺元为0o；（4）每一个元素均有逆元：(0o)-1=0o,(60o)-1=300o,(120o)-1=240o,(180o)-1=180o,(240o)-1=120o,(300o)-1=60o∴M,*是一个群。《定义》设G,*是一个群，如果G是有限集合，则称G,*为有限群，并把|G|称为群的阶数