多选题加练八　平面解析几何公开课教案教学设计课件资料.DOCX

多选题加练(八)平面解析几何

1.已知直线l：x＝my＋1，则()

A.直线l恒过定点(1，0)

B.直线l的斜率必定存在

C.m＝eq\r(3)时，直线l的倾斜角为60°

D.m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为eq\f(1,4)

答案AD

解析A中，由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，正确；

B中，当m＝0时，直线斜率不存在，错误；

C中，m＝eq\r(3)时，直线l：y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，

则直线l的斜率为eq\f(\r(3),3)，倾斜角为30°，错误；

D中，m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，

所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为eq\f(1,4)，正确.

2.(2024·郑州段考)已知双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ0)，则()

A.双曲线C的实轴长为定值

B.双曲线C的焦点在y轴上

C.双曲线C的离心率为定值

D.双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x

答案BCD

解析由曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ0)，

整理可得eq\f(y2,－λ)－eq\f(x2,－2λ)＝1(λ0)，

所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ(λ0)，不是定值，故A错误，B正确；

e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，为定值，故C正确；

渐近线的方程为eq\f(x2,2)＝y2，即y＝±eq\f(\r(2),2)x，故D正确.

3.(2024·南京模拟)点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是()

A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1

C.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1

答案AC

解析设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，

设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，

使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，

所以|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，

即a2＋a2≤4c2，

因为c2＝a2－b2，所以2a2≤4a2－4b2，

则a2≥2b2，所以选项AC满足.

4.已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()

A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1

C.点P的横坐标为±1

D.△PF1F2的面积为eq\r(2)

答案ACD

解析等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；

由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq\r(2)，

所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；

设点P(x0，y0)，因为点P是双曲线C的一条渐近线上一点，

所以不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，

又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，

则点P的横坐标为±1，故C正确；

由上述分析可得△PF1F2的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故D正确.

5.(2024·福州质检)已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1，则下列选项正确的是()

A.若meq\r(2)，则C是椭圆

B.若－eq\r(2)meq\r(2)，则C是双曲线

C.当C是椭圆时，若|m|越大，则C越接近于圆

D.当C是双曲线时，若|m|越小，则C的张口越大

答案BD

解析当2m2－40且2m2－4≠4时，

曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1是椭圆，

此时解得m22且m2≠4，

所以m－eq\r(2)或meq\r(2)且m≠±2，

所以A错误.

当2m2－40时，曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1是双曲线，

此时解得－eq\r(2)meq\r(2)，所以B正确.

当曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1是椭圆时，

记该椭圆的离心率为e1，

若02m2－44，即2m24，

则eeq\o\al(2,1)＝1－e