参数方程(圆锥曲线的参数方程)课件.pptVIP

圆锥曲线的参数方程

椭圆的参数方程

复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？

如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,y过点A作AN⊥Ox,垂足为N,A过点B作BM⊥AN,垂足为M,BM设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，ONx点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:常在数椭圆、的b参分数别方是程椭这是中心在原点O,x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ中，通常规定参数θ的范圆的长半轴长和短半轴焦点在x轴上的椭圆的长围为参数方程。

y椭圆的标准方程:AφBM椭圆的参数方程:OxN椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称为点M的离心角yP+y=r圆的标准方程:x222θAx圆的参数方程:Oθ的几何意义是∠AOP=θ

小结椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab——离心角一般地：

练习把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)把下列参数方程化为普通方程(3)(4)

练习O是坐标原点，P是椭圆上离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是.解：把可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是:代入椭圆参数方程

例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.y解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，Ox所以可设点M的坐标为M由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

例1、如图，在椭圆上求一点M，(1)使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.

例2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。YDAFA1AF2X1BC

双曲线的参数方程

研究双曲线的参数方程以原点O为圆心,a,b(a0,b0)为半径分别作同心圆C1,C2.yBB设A为圆C上任一点,作直线OA,1MA过A作圆C的切线AA与x交于点A,1xOA过圆C与x轴的交点B作圆C的22切线BB与直线OA交于点B。过点A,B分别作y轴,x轴的平行线AM,BM交于点M,设OA与OX所成角为φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。

yBBMAxOA

y事实上aA?MoBxb

练习:(t是参数,t0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.4

不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为则直线MA的方程为解得点A的横坐标为平行四边形MAOB的面积为由此可见，平行四边形MA与O点B的M面在积双恒曲为线定上值的位置无关

说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角相比较而得到，所以双曲线的恒等式参数方程的实质是三角代换.

例3

例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。y证明：设双曲线方程为ABOA取顶点A(a,0),弦AB∥Ox，A1x22∴弦AB对A张直角，同理对A也张直角．12

例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于y点P,求证：·AMx解：设A，B坐标分别为则中点为MO·B，于是线段AB中垂线方程为将代入上式,∴(∵A，B相异)，

例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。

抛物线的参数方程

前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程YAM为例，其中p为焦点到准线的距离。XOF

设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α显然，当α在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程.因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得由方程(α为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.

(α为参数)如果令则有（t为参数）当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当时，（t为参数）就表示整条抛物线．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

练习C

例1如图，O为原点，A,B为抛物线上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．

当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？

练习已知椭圆C1:及抛物线C:y=6(x-3/2)；若C∩C≠φ，求m的取值