压缩感知介绍课件.pptVIP

压缩感知理论及应用CompressedSensing(CS)：TheoryandApplications

1压缩感知理论分析1.1压缩感知的前提1.2压缩感知流程介绍第一步：信号的稀疏表示第二步：观测矩阵的设计第三步：信号重构2压缩感知应用2.1稀疏表示去噪2.2CS图像融合2.3单像素CS相机2.4CS雷达

1压缩感知理论1.1压缩感知的前提1.2压缩感知流程介绍1.3第一步：信号的稀疏表示1.4第二步：观测矩阵的设计1.5第三步：信号重构

1压缩感知理论分析1.1压缩感知的前提v稀疏性的定义：v一个实值有限长的N维离散信号论可知，它可以用一个标准正交基，由信号理的线性组合来表示，假定这些基是规范正交的，其中表示矩阵的转置，那么有其中，若在基上仅有个非零系数时，称为信号的稀疏基，是稀疏(K-Sparsity)的。

1压缩感知理论分析vE.Candes等人证明了：信号的稀疏性是CS的必备条件。v信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，这个条件的限制等同于信号带宽对于Nyquist采样定理的约束。

1压缩感知理论分析1.2压缩感知流程介绍v长度为N的信号在正交基上的变换系数是稀疏的；v用一个与基不相关的观测基对系数向量进行线性变换，并得到观测向量v利用优化求解的方法从观测集合中精确或高概率地重构原始信号。

1压缩感知理论分析v如同信号带宽对于Nyquist，信号的稀疏性是CS的必备条件；v如同Nyquist采样规则对于Nyquist-Shannon采样定理，CS的关键是非相关测量（该测量称为测量矩阵），他们都是信号得以精确恢复的条件；v如同Fourier变换对于Nyquist，非线性优化是CS重建信号的手段。

1压缩感知理论分析第一步：信号的稀疏表示v如图是一个稀疏度为3的稀疏变换，基本都是非零值，,在时域v但将其变换到域时，非零值就只有3个了，数目远小于原来的非零数目，实现了信号的稀疏表示。

1压缩感知理论分析如何找到信号的最佳稀疏域呢？v这是压缩感知理论的基础和前提，也是信号精确重构的保证。对稀疏表示研究的热点主要有两个方面：v1、基函数字典下的稀疏表示：v寻找一个正交基使得信号表示的稀疏系数尽可能的少。比较常用的稀疏基有：高斯矩阵、小波基、正（余）弦基、Curvelet基等。Candes和Tao经研究发现光滑信号的Fourier系数、小波系数、有界变差函数的全变差范数、振荡信号的Gabor系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet系数等都具有足够的稀疏性,可以通过压缩感知理论恢复信号。v2、超完备库下的稀疏表示：v用超完备的冗余函数库来取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称之为原子，目的是从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K项原子来逼近表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。

1压缩感知理论分析v超完备库下的稀疏表示涉及到两个问题：v一是如何构造这样一个适合某一类信号的冗余字典；v二是在已知冗余字典的前提下如何设计快速有效的分解方法来稀疏地表示某一个信号。v右图为一些不同的字典

1压缩感知理论分析第二步：观测矩阵的设计观测器的目的是采样得到个观测值，并保证从中能够重构出原来长度为的信号或者稀疏基下的系数向量。观测过程就是利用观测矩阵的个行向量对稀疏系数向量进行投影，得到个观测值，即

1压缩感知理论分析

1压缩感知理论分析观测矩阵要满足什么样的条件呢？v从上式中求出是一个线性规划问题，但由于方程的个数少于未知数的个数，这是一个病态问题v但如果具有稀疏性，则有可能求出确定解。Candes、Tao等人提出必须保证观测矩阵不会把两个不同的项稀疏信号映射到同一个采样几何中，这就要求从观测矩阵中抽取的每个列向量构成的矩阵是非奇异的，v这跟有限等距特性(RIP)条件的要求是一致的。vR.Baraniuk将上述条件简化为如果保证观测矩阵和稀疏基不相干，则在很大概率上满足RIP性质。不相干是指不能用稀疏表示，不相干性越强，互相表示时所需的系数越多。

1压缩感知理论分析第三步：信号重构v首先介绍下范数的概念。向量的p-范数为：当p=0时得到0-范数，它表示上式中非零项的个数。v由于观测数量可压缩的前提下，求解病态方程组的问题转化为最小0-范数问题：，不能直接求解，在信号

1压缩感知理论分析v对于0-范数问题的求解是个NP问题，需要列出所有非零项位置的种组合的线性组合才能得到最优解，在多项式时间内难以求解，而且也无法验证其可靠性。vChen，Donoho和Saunders指出求解一个优化问题会产生同等的解。于是问题转化为：v或者：v求解该最优化问题