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空间向量和立体几何

知识体系：

章节概述：

在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基

本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；在运

用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法

与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟

向量在研究几何问题中的作用。

知识清单：

空间向量和立体几何

一、空间向量及其运算：

1.空间向量概念：

(1)定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，

空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。空间向量用字母，，，表示。

(2)有向线段：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度

表示空间向量的模。

(3)零向量：我们规定，长度为的向量叫做零向量，记为。当有向线段的起点

与终点重合时，。

(4)单位向量：模为的向量叫做单位向量。

(5)相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为。

(6)共线向量，如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

那么这些向量叫做共线向量或平行向量。我们规定：零向量与任意向量平行，即

对于任意向量，都有。

(7)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量。因此，在空间，同向且

等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

2.空间向量的加减法以及数乘运算：

(1)任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

(2)任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算。。

(3);。

(4)当时，；

当时，；

当时，。

(5)交换律：；

结合律：，；

分配律：，。

(6)共线的充要条件：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在

实数，使。

(7)方向向量：在直线上取非零向量，我们把与向量平行的非零向量称为直

线的方向向量。这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向

量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。

(8)共面向量：如果直线平行于平面或在平面内，那么称直线的方向向量平

行于平面。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。

(8)共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面

的充要条件是存在唯一的有序实数对，使。

3.空间向量的数量积运算：

(1)由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因为，两

个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。

(2)夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，

则叫做向量，的夹角，记作。如果，那么向量，互

相垂直，记作。

(3)数量积：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记

作，即。特别地，零向量与任意向量的数量积为。

(4)性质：；；

，；交换律：；

分配律：。

(5)投影向量：在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先

将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线

的向