第3章控制系统的时域分析法(3).pptVIP

第三章线性系统的时域分析;3.4线性系统的稳定性分析;线性控制系统稳定性的定义为：;线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。稳定性是系统的固有特性，是扰动消失后系统自身的恢复能力。;3.4.1系统稳定的充要条件

（sufficientandnecessarycondition);由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的复域脉冲响应函数C(s)就是系统的闭环传递函数。

令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则其传递函数可写为;上式用部分分式展开，得

系统的时域脉冲响应为;线性系统稳定的充分必要条件是：

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。;3.4.2系统稳定的必要条件;证明：

设–P1、–P2、…为实数根。、、…为复数根。其中，P1、P2、…和、、…都为正值(符合充要条件），则式(3-57)改写为

即;因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后s各次项必然仍为正值且不会有系数为零项。

反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复数根，则由式(3-58)可知，对于方程式s各次项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。

然而，这一条件是不充分的，因为各项系数为正数的系统特征方程，完全有可能拥有正实部的根。;不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。

但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。;3.4.3劳斯稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)

;设系统的特征方程式为

将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表;由劳斯表的结构可知，劳斯表有行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。

列表规律：;劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：

(1)如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在s的左半平面，相应的系???是稳定的。

(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在右半s平面上的个数。;例3-2已知三阶系统特征方程为

判断系统稳定的充要条件。

解：列劳斯表为

根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且bcad。;例3-3设系统特征方程为

使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。

解：列劳斯表如下

因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。;两种特殊情况：;若劳斯表第一列的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。

如果第一列上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。;例3-4设系统的特征方程为

试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。

解：基于方程中s2项的系数为零，s一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表;由上表可见，其第一列项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s的右半平面。

若用因式分解的方法，把原方程改写为

由上式解得s1,2=1，s3=–2，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。;(2)如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根(realroot)和(或)共轭虚根。

解决的办法是：可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。

如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。

辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。;例3-5系统的特征方程为

试判稳。

解：劳斯表如下：;用系数为4和6代替s3这行中相应的0元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知有一个正实部根，系统不稳定。