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中考数学二次函数压轴题之等角平移

问题

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两

点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB＝∠ACB时，

求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛

物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移

的距离．

【解析】

解：

（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），

∴点B的坐标是（3，0）．

将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得

则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．

由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；

（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延

长线于点M，

图1

∵∠CON＝90°，

∴四边形CONM是矩形．

∴∠CMN＝90°，CO＝MN，

∵y＝x2﹣4x+3，

∴C（0，3）．

∵B（3，0），

∴OB＝OC＝3．

∵∠COB＝90°，

∴∠OCB＝∠BCM＝45°．

又∵∠ACB＝∠PCB，（已知条件）

∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．

∴tan∠OCA＝tan∠PCM．

∴OA/OC=PM/CM=1/3．

故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．

∴P（3a，3﹣a），

将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．

解得a1＝11/9，a2＝0（舍去）．

∴P（11/3，16/9）．

（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．

∴D（2，﹣1﹣m）．

如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，

图2

∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，

∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDF＝90°．

∴∠EOD＝∠QDF．

∴tan∠EOD＝tan∠QDF，

∴DE/OE＝QF/DF．

解得m＝1/5．

故抛物线平移的距离为1/5．

【分析】

（1）通过对称轴x=2,把B点的坐标求出来，代入抛物线一般式解二元一

次方程组，求出抛物线的解析式，把一般式化为顶点式从而求出顶点坐标。

熟练掌握中点坐标公式、解二元一次方程组、用配方法把一般式化为顶点式等知

识点。

（2）关键是P点的位置如何确定，直线与抛物线最多只有两个交点，点A、

点C已经在抛物线上了，结合已知条件∠PCB＝∠ACB，点P不可能在直线

AC上，若在的话就有三个交点了，从而可以确定出P点的位置如下图所示。

结合已知条件，通过锐角三角函数，建立线段之间的数量关系，如何建立就是通

过函数与方程的数学思想，通过方程知道P点的坐标后，代入二次函数解析式，

从而求出P点的坐标。

设点坐标或线段的长度，一定要注意未知数的个数越少越好，越有利于解题！

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