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压缩感知及其应用CompressedSensing(CS)anditsApplications姓名：周子龙学号：1120349074班级：B1203492

u1背景介绍u2压缩感知理论分析u3压缩感知应用u4压缩感知仿真实例

1背景介绍1.1传统采样理论传统香农奈奎斯特采样定理：“Ifyousampledenselyenough(attheNyquistrate),youcanperfectlyreconstructtheoriginalanalogdata”

传统的信号处理方式的不足之处：n采样速率需达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信号。这样的采样硬件成本昂贵，获取效率低下，对宽带信号处理的困难日益加剧。n在实际应用中，为了降低成本，人们常将采样的数据经压缩后以较少的比特数表示信号，而很多非重要的数据被抛弃，这种高速采样再压缩的方式浪费了大量的采样资源，另外一旦压缩数据中的某个或某几个丢失，可能将造成信号恢复的错误。

现实生活中，随着信息技术的高速发展，信息量的需求增加，携带信息的信号所占带宽也越来越大。这就大大考验了数字化社会对信息处理的能力，包括：数据存储、传输和处理速度，基于Nyquist采样的理论遭到严峻的考验。能否以远低于Nyquist采样定理要求的采样速率获取信号，而保证信息不损失，并且可以完全恢复信号？即能否将对信号的采样转化为对信息的采样？压缩感知

1.2压缩感知理论

压缩感知的基本思想：ü信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的;ü就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上;ü然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。TakesonlyO(n1/4log5(n))randommeasurementsinsteadofn

2压缩感知理论分析2.1稀疏性的定义一个实值有限长的N维离散信号知，它可以用一个标准正交基，由信号理论可的线性组合来表示，假定这些基是规范正交的，其中表示矩阵的转置，那么有其中，若在基上仅有（KN）个非零系数时，称为信号的稀疏基，且称是阶稀疏(K-Sparsity)的。

2.2压缩感知的实现过程压缩感知理论主要包括信号的稀疏表示、随机测量和重构算法等三个方面。稀疏表示是应用压缩感知的先验条件，随机测量是压缩感知的关键过程，重构算法是获取最终结果的必要手段。

如果一个信号中只有少数元素是非零的，则该信号是稀疏的。通常时域内的信号是非稀疏的，但是在某个变换域可能是稀疏的。

x是稀疏信号，y是压缩感知后的信号，Φ是测量矩阵。

x是稀疏信号，y是压缩感知后的信号，Φ*Ψ是压缩矩阵。

综上所述压缩感知的实现过程可分三步进行：第一步：寻找信号的稀疏表示第二步：观测矩阵的设计第三步：信号重构

CS矩阵的构造方法主要分为两类：随机矩阵法和确定性矩阵法，这两种方法各有优缺点。随机矩阵重建性能好，但不易于硬件实现。确定性测量矩阵因为其占用存储空间少，硬件实现容易，是未来测量矩阵的研究方向，但目前确定性矩阵的重建精度不如随机矩阵。压缩感知的重构算法可以通过寻找近似解及将问题转化为相关的易求解的问题的方法来实现，包括贪婪算法、凸化算法等。

3压缩感知应用压缩感知理论带来了信号采样理论的变革，具有广阔的应用前景，包括压缩成像、模拟信息转换、生物传感等。3.1CS相机压缩感知应用于光学成像的首个实际系统是Rice大学的“单像素相机”

入射光线经过第一个透镜之后进入成像系统，照射在放置于像平面的数字微镜设备(DMD)阵列上。DMD阵列由数百万个尺寸为μm量级的微小反射镜组成，每个反射镜的角度可独立控制。DMD阵列的反射光线经过第二个透镜，其中仅一个方向的光线进入单像素光子探测器。

“数字微”完成像在随机二模型上的性投影的光学算，其反射光由透聚焦到个光敏二极管上，光敏二极管两端的即量y，将此投影操作重复M次，即得到量向量Y，然后用最小全分算法构建的数字信号理器重构原x。数字微器件由数字信号控制微片的机运以入射光的整，相当于随机

3.2CS图像融合图像融合是对来自单一传感器不同时间、不同环境下获取的图像或由多个传感器同一时间获取的信息进行多级别、多层次的处理与综合，从而获得更丰富、更精确、更可靠的有用信息。

4压缩感知仿真实例对256×256大小的8bit灰度lena图像进行仿真计算，由于数据量过大，将图像分为16×16大小的分块进行计算，稀疏矩阵采用DCT矩阵，观测矩阵采用高斯随机矩阵，重构算法采用OMP（正交匹配追踪）算法。

原lena像0.3采0.7采0.5采率

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