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微积分与极限思想

有没有听说过“曹冲称象”的故事？想知道大象的体重，但无法直接去称它，怎么办呢？聪明

的曹冲就想出一个办法：用石头的重量代替大象的体重。这个故事给我们一个思想方法的启

发先“化整为零”（把大象的体重用石头质量来替代），再“积零为整”（石头质量的累积就

是大象体重）。

“微积分”就是“微分”+“积分”。“微”是“细微”，“微分”就是“无限细分”；“积”是“累积”即求和，

而非“乘积”，“积分”就是“无限求和”。

我问你如何求圆的面积，你一定可以马上回答出它的计算公式。但如果是在没有发现圆周率

以前的时候呢？古人只能把整个圆面等分成许多全等的小扇形（就象我们过生日分蛋糕那

样）。虽然扇形很象三角形，但他毕竟不是三角形。二者差异就在于弧与弦的“曲”“直”有别，

无法直接替代。因为我们会求三角形的面积，所以又很想实现这种替代。怎么办？唯一的可

能就是“无限细分”。因为分得越细，二者的差异就越小。当细到“相当细”时，我们有理由用

弦换弧来实现“以直代曲”的跳跃思维。

什么是“相当细”呢？“相当细”就是前面提到的“无限细分”。一千不算“相当细”，一万不算“相

当细”，一万万不算“相当细”

任何具体的数目，无论多大，都不算“相当细”！

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。

最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家，古希腊的阿基

米德都作出了各自的贡献。阿基米德借助于“穷竭法”解决了一系列几何图形的面积、体积计

算问题。这种方法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。对于这方面的工作，

古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树

干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的

切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作

过尝试，但他们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及

到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段来处理，从而回

避了连续变化率微积分的形成与发展的历史无疑是数学界的重要话题。翻开有关微积分的教

材和介绍其发展历史的著述，无论是外国人编写的，还是我国的作者；无论是过去，还是现

在；大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于

微积分的形成与发展所作出的贡献。大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡

之一。中华民族有着光辉灿烂的数学史，对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献。中华民

族功不可磨，理应受到世人的承认与尊重由于“变量”作为新的问题进入了数学，对数学的研

究方法也就提出了新的要求．在十七世纪前半叶，解析几何的观念已经有一系列优秀的数学

家接近了．但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔和费尔马创立在十六世纪末、十七

世纪初的欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式的改变．资本主义制度的产生，使社会生产力

大大得到解放．资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速

向前发展．

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在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出了新的课题．公元1492年，哥

伦布发现了新大陆，证实了大地是球形的观念；1543年，哥白尼发表了《天体运行论》，使

神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇；开普勒在1609～1619年，总结出行星运

动的三大定