高考总复习二轮数学精品课件 专题5 统计与概率 专项突破五 统计与概率解答题.ppt

专项突破五统计与概率解答题专题五

内容索引0102必备知识?精要梳理关键能力?学案突破

必备知识?精要梳理

1.离散型随机变量的方差公式名师点析方差和标准差都是描述一组数据离散程度大小的量.

2.期望与方差的性质(1)离散型随机变量期望的性质①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),则E(X)=np;③若X服从两点分布,则E(X)=p.(2)离散型随机变量方差的性质①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).

3.正态分布正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:(1)P(μ-σX≤μ+σ)≈0.6827,(2)P(μ-2σX≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σX≤μ+3σ)≈0.9973.注意是σ2,不是σ

关键能力?学案突破

突破点一正态分布及其应用[例1](2023·广东湛江一模)某工厂一台设备生产一种特定零件,工厂为了解该设备的生产情况,随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位:cm),经统计得到下面的频率分布直方图.

?①为了监控该设备的生产过程,每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标,如果关键指标出现了[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为生产过程可能出现了异常,需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标:0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83

②若设备状态正常,记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件个数,求P(X≥1)及X的均值.

②抽测一个零件关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.9973,所以抽测一个零件关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为1-0.9973=0.0027,故X~B(10,0.0027),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997310≈1-0.9733=0.0267,所以E(X)=10×0.0027=0.027.

规律方法利用正态曲线的对称性求概率的策略(1)解决此类问题的关键是利用对称轴直线x=μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系,必要时,可借助图形判断.(2)对于随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),由直线x=μ是正态曲线的对称轴可知:①对任意的a,有P(Xμ-a)=P(Xμ+a);②P(Xx0)=1-P(X≥x0);③P(aXb)=P(Xb)-P(X≤a).

(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率,将所求问题向P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)转化,然后利用特定值求出相应概率.同时,要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质.

精典对练?得高分(2023·重庆二模)某网络APP在平台开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立.已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动.

(2)已知该闯关活动累计得分X服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

解(1)设Ai:第i次通过第一关,Bi:第i次通过第二关,i=1,2,甲可以进入第三关的概率为P.由题意知

(2)设此次闯关活动的分数记为X~N(μ,σ2).①由题意可知μ=171,所以前400名参赛者的最低得分低于μ+σ=261,而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励.

数学思想?扩思路函数与方程思想某届女排世界杯共有12支参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球,已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后积分最高的队伍取得最后冠军(若积分相同需要进行加赛).积分规则如下: