12.2-常数项级数的审敛法.ppt

二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十一章

一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.

定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k0),,1?￥=nnu?￥=1nnu?￥=1nnu

证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.

定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0l∞时,,1?￥=nnu;1也收敛?￥=nnu.1也发散?￥=nnu

的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～

定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.

例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;

二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足

收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛

三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.

例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.

(2)令因此收敛,绝对收敛.

内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法不定比较审敛法用它法判别部分和极限

3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛