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《小学数学圆》

与圆有关的位置关系直线和圆的位置关系点和圆的位置关系点在圆内?dr；点在圆上?d=r；点在圆外?dr位置关系切线的判定定理切线的性质定理相交?dr；相切?d=r；相离?dr切线长定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角知识梳理

圆内接正多边形有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距尺规作图法作圆的内接正多边形

弧长公式扇形的面积公式圆锥的侧面积和全面积公式???圆的有关计算

点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆内；d＜r点P在圆上；d=r点P在圆外.d＞r

注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．

例：已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP＝7cm时，点A与⊙O的位置关系是()A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外 D．不能确定A解：∵OP＝7cm，A为OP的中点，∴OA=3.5cm.∵3.5cm4cm,∴点A在⊙O内.

直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离.相离相切相交图形d与r的关系公共点个数公共点名称直线名称2个交点割线1个切点切线0个d＞rd=rd＜r

例：设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程有实数根，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相离或相切 B．相切或相交C．相离或相交 D．无法确定B?

与切线相关的定理1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.∵l⊥OA于A，OA是半径∴l是⊙O的切线.∵l与⊙O相切于A，∴l⊥OA.

例:如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB＝10，CD＝8，求BE的长．

(1)证明：连接OD，如图所示．∵BD为∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2.又∵OB，OD均为⊙O的半径，∴OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，即OD⊥AC.又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．连半径，证垂直(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)解：过圆心O作OF⊥BE于点F，如图所示．在Rt△BOF中，OB＝10，OF＝CD＝8，根据勾股定理可得OB2＝BF2＋OF2，即102＝BF2＋82，解得BF＝6.由垂径定理可知F为BE的中点，∴BE＝2BF＝12.(2)若OB＝10，CD＝8，求BE的长．

与切线相关的定理3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.

例1：如图，AC是⊙O的直径，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，若∠BAC=25°，则∠P=______°.方法1：方法2：50

例2:如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．

解:(1)连接OF,根据切线长定理,得BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°.(1)∠BOC的度数；

?(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．

弧长和扇形面积公式??OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积

，．例：(2020?襄阳中考）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=,求图中阴影部分的面积.ABOCDE

（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；解:(1)CD是⊙O的切线.理由如下：连接OC.∵EC=BC，∴∠CAD＝