第10讲 函数的单调性与最大（小）值 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（.docxVIP

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第10讲函数的单调性与最大(小)值

1.理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征；

2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明；

3.理解函数的最大(小)值及其几何意义，会求一些简单函数的最值.

1函数单调性的概念

(1)增函数和减函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:

如果?x1,x2∈D，当x1x2时，都有f(x1

如果?x1,x2∈D，当x1x2时，都有fx1

(2)单调性

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D叫做函数y=f(x)的单调区间．

2单调性概念的拓展

①若y=f(x)递增，x2x

②若y=f(x)递增，fx2≥f(

y=f(x)递减，有类似结论！

3判断函数单调性的方法

①定义法

②数形结合

③性质法

增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；

但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x-2均是增函数，而y=x(x-2)不是.

④复合函数的单调性

(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、

(2)同增异减

设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M)

若y=fu,u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间

若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.

4函数的最值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)?x∈I，都有fx≤M；(2)?x

那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)

【题型一】函数单调性的理解

相关知识点讲解

(1)增函数和减函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:

如果?x1,x2∈D，当x1x2时，都有f(x1

如果?x1,x2∈D，当x1x2时，都有fx1

(2)单调性

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D叫做函数y=f(x)的单调区间．

解释

1先从初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的单调性去理解；

【例1】说下函数y=x2

解析函数y=x2-2x-3在整个定义域(-∞,+∞)上不具有单调性，但是在(-∞,1]

2x1,x2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x1,x2有三个特征：一是任意性，即任意取

【例】若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f1f2f(3)，则函数f(x)在(0,+∞)

A．增函数B．减函数C．先增后减D．不能确定

解析由于函数单调性的定义突出了x1,x2

【典题1】若函数fx在区间1,3和3,5上均为增函数，则函数fx在区间1,5上(????)

A．一定是增函数 B．没有单调性

C．不可能是减函数 D．存在减区间

【答案】C

【分析】利用函数的单调性分析即可得解.

【详解】因为函数fx在区间1,3和3,5

对于A，符合条件的图像如图所示，

函数fx在区间1,5上不是增函数，∵x1x

对于B，符合条件的图像如图所示，

函数fx在区间1,3和3,5上连续，此时fx在区间1,5上是增函数，故

对于CD，函数fx在区间1,3和3,5上不论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在减区间，故C正确，D

故选：C

【典题2】下列说法正确的是(????)

A．若x1,x2∈I，当x1

B．函数fx=x

C．函数fx=-

D．函数fx=

【答案】B

【分析】

根据单调函数的定义、函数的单调性和单调区间的概率依次判断即可.

【详解】

对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意x1,x2∈I，没有“

对B，该二次函数是一条对称轴为x=0，开口向上的抛物线，

函数fx=x2在

对C，函数fx=-1x在

但不能说fx定义域内单调递增，故C

对D，函数fx=1x在

同时区间不能用“∪”符号连接，故D错误.

故选：B

变式练习

1.已知y=fx的图象如图所示，则该函数的单调增区间为(????

A．[-1,3] B．[-1,2]和[4,5]

C．[-1,2] D．-3,-1和2,4

【答案】B

【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可.

【详解】由图象知：该函数的单调增区间为[-1,2]和[4,5].

故选：B

2.已知函数fx的定义域为0,16，则“f13f2”是“函数fx在区间0,16上单调递增

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件 D