一类仿射利率模型的极限定理[1]-仿射过程.docx

?

?

一类仿射利率模型的极限定理[1]

仿射过程

?

?

论文导读:：在本文中,我们讨论了一类双因子仿射利率模型的极限定理。假定是一类双因子仿射利率模型,当时，我们证明了的几乎处处收敛性。

论文关键词：仿射过程，利率模型，极限定理

?

一、引言及主要结果

通常，保险公司在说服客户购买保险时，会给客户许诺一个回报率，一方面，客户希望得到较高的回报率，并且，在竞争如此激烈的社会，如果回报率过低，将会失去大量客户；

可另一方面，保险公司为了正常运行，又不能把回报率定的过高。因此，对于利率模型极限性质的研究显得非常有必要。

近年来，随机利率模型的极限性质也得到了很多的研究（见文献[1-4]）。在文献[3]中，作者利用Bessel过程的理论证明了一类推广的单因子CIR利率模型的极限定理。可尽管许多的单因子利率模型，诸如Vasicek模型，CIR利率模型被广泛的应用，但实际上，金融市场自身的复杂性决定了仅仅用单因子利率模型来描述是不完全的，国内外大部分的实证研究也已经表明多因子利率模型具有较好的拟合能力。另一方面，随机仿射利率模型是比CIR模型更广的一类模型。文献[5]给出了仿射利率模型的数学基础并系统地阐述了仿射过程在金融中的应用。随后，文献[6]又进一步给出了这种模型所满足的随机微分方程。本文在文献[6]中给出的随机微分方程的基础上，证明了一类双因子仿射利率模型的极限定理，在一定程度上推广了[3]的结果。

首先,介绍一下本文的记号.令，。

定义1.1称是可容许参数集，如果

(i)是常数；

(ii)是二阶非负定矩阵；

(iii)是向量；

(iv)是矩阵,且。

令是可容许参数集，且，。令，是满足的矩阵。令为满足通常假设的概率空间。假定在该概率空间上给定三个相互独立的布朗运动，是由它们生成的自然代数流。

令是可测的非负随机变量，则由文献[6],下列方程存在唯一强解

?

。

此外,令是可测的随机变量，我们考虑下列方程

?

?

?

由文献[6],随机微分方程组和有唯一强解。而且，是仿射马氏过程。根据文献[5]和[6]，称为双因子仿射利率模型。

我们将证明以下结果

定理1.1设是随机微分方程组和的解，则当时，有下面结论成立

二、定理的证明

首先，给出定理1.1证明所需的基本引理及简要证明。

引理2.1设是一个连续半鞅，是一个严格正的连续增函数，并且当时，。若a.e.存在，则。

证明：令，则。

由分部积分公式和是连续半鞅仿射过程，可得

从而

。

因为a.e.存在，a.e.收敛到，因此a.e.，所以的第一项几乎处处收敛到发表论文。

下面看的第二项

。

因为几乎处处收敛到，所以可选取和足够大的，使得对，都有成立。对这个固定的，可以选取，使得

?

成立。因此，结论得证。

推论2.2给定概率空间及其上的布朗运动。对，假定随机过程满足随机微分方程

，

其中，在给定条件下，有下面的结果成立

。

证明：令，则由公式，满足随机微分方程

，

则由文献[3]，可得

。

这就证得推论。

定理1.1的证明：首先，不妨设，否则满足常微分方程

。

可得，显然，

。

下面只需在时进行证明。

因为满足随机微分方程，则

其中。

显然是布朗运动。

令，则由公式知满足随机微分方程

，

所以由推论2.2可得

。

显然

。

下面在上对随机微分方程进行积分,可得

在上式两端同除整理后可得

?

?

下面只需证明等式右边四项都几乎处处收敛到即可。为了证明和几乎处处收敛到，由引理2.1知只需证明和几乎处处存在即可。

下面定义一列停时：

因为，所以存在，使得，同时也可知a.e.。

事实上,

因此，所以下面只需证明在上几乎处处存在，又因为是随机变量，故只需验证都是有界鞅即可。

事实上,

显然是有界鞅。

为了证明的第四项几乎处处收敛到，由公式,可得满足随机微分方程

其中

显然我们可得

?

?

?

在两端同除得

?

?

?

显然。

为了证明和几乎处处收敛到，再次运用引理2.1知只需证明和几乎处处存在，即证明和几乎处处存在，而由前面的证明知这是显然的。

下面只需要证明式中的第二项，即

。

又因为，所以对，有

，

并且由

和，可知

。

而且

所以

。

综上，结论得证。

参考文献：

[1]Deelstra,G.,Long-termreturnsinstochasticinterestratemodels:applications.[C].Proc.5thAFIRInt.Colloquium,Brussels,Belgium,1995,709-730.

[2]Deelstra,G.,Long-termreturnsinstochasticinterestratemodels:applications.[J]As