2024-2025年新高考数学专题8.5空间角与距离、空间向量及其应用-10年高考真题.pdf

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

考点用向量法求空间角和空间距离

1.(2020新高考Ⅰ,4,5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子

来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点

A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处

的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案B由题意作出如图所示的截面图,设所求角为α,

由图易知α=40°.故选B.

2.(2022全国甲,理7,文9,5分)在长方体ABCD-ABCD中,已知BD与平面ABCD和平面AABB所成

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的角均为30°,则()

A.AB=2AD

B.AB与平面ABCD所成的角为30°

11

C.AC=CB1

D.BD与平面BBCC所成的角为45°

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答案D如图,连接BD.由题可知,BB⊥平面ABCD,AD⊥平面AABB,

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易知BD与平面ABCD和平面AABB所成的角分别为∠BDB,∠ABD,∴∠BDB=∠ABD=30°.

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设AD=1,则AB=√3,BD=2,

11

∴BB=1,BD=√3,∴AB=√2,

1

∴AB=√2AD,故A错误.

过B作BH⊥AB,交AB于H,

11

易知∠HAB为AB与平面ABCD所成的角.

11

·1√6

∵BH==,

13

√3

∴sin∠HAB==,故B错误.

3

易知AC=√3,CB=√2,∴AC≠CB,故C错误.

11

易知∠DBC为BD与平面BBCC所成的角,

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√2

∴sin∠DBC==,∴∠DBC=45°,故D正确.

11

2

1

3.(多选)(2022新高考Ⅰ,9,5分)已知正方体ABCD-ABCD,则()

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A.直线BC1与DA1所成的角为90°

B.直线BC与CA所成的角为90°