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《集合间的基本关系》同步学案

情境导入

具有北京市朝阳区户口的人组成集合,具有北京市户口的人组成集合.问题:集合与集合有什么关系吗?

自主学习

自学导引

1.子集的概念.

一般地,对于两个集合,如果集合中_________元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作________(或________),读作“_________”(或“__________”).

2.Venn图:用平面上________曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.

3.集合相等与真子集的概念.

定义

符号表示

图形表示

集合相等

如果________,

那么集合与集合相等

真子集

如果集合,但存在元素___________,

就称集合是集合的真子集

(或)

4.空集.

(1)定义:________的集合叫做空集.

(2)用符号表示为:_________.

(3)规定:空集是任何集合的_________.

5.子集的有关性质.

(1)任何一个集合是它本身的子集,即_______.

(2)对于集合,如果,且,那么_________.

答案:

1.任意一个包含于包含

2.封闭

3.,且,且

4.(1)不含任何元素

(2)

(3)子集

5.(1)

(2)

预习测评

1.若,则()

A.

B.

C.

D.

2.已知是菱形是正方形是平行四边形,那么之间的关系是()

A.

B.

C.

D.

3.已知集合含有两个元素1,2,集合含有两个元素1,,且相等,则________.

4.集合的所有子集个数为________.

答案:

1.

解析:结合数轴,可知.

2.B

解析:正方形是特殊的菱形,同时菱形又是特殊的平行四边形.

3.

解析:由相等,得,从而.经检验,符合题意.

4.8

解析:该集合的所有子集可分成四类,即①空集：;

②一元子集:;③二元子集:,;④三元子集:.故共有8个.

新知探究

探究点1子集的概念

知识详解

定义

一般地,对于两个集合,如果集合的任

何一个元素都是集合中的元素,就称集合

为集合的子集

记法与读法

记作(或),读作“包含于”(或“包含”)

图示

结论

(1)任何一个集合是它本身的子集,即}

(2)对于集合,若,且,

则

特别提示

(1)集合是集合的子集的含义是:集合中的任何一个元素都是集合中的元素,即由能推出B.例如,则.

(2)如果集合中存在着不是集合的元素,那么集合不包含于集合,或不包含.

(3)注意符号“”与“”的区别:“”只用于集合与集合之间,如,而不能写成.“”只能用于元素与集合之间,如,而不能写成.

典例探究

例1下列写法:

①;②;③,④.

其中错误写法的个数为()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:①与表示集合与集合的关系,不能用来表示,故错;

②,故正确;

③,集合跟元素的排列顺序无关,故正确;

④由于不含任何元素,故错.

综上,错误的有2个.

答案:

变式训练1下面关系不正确的是()

A.

B.

C.

D.

答案:

解析:根据子集的概念可知A,B,D正确;因为,所以不成立.

探究点2集合相等

知识详解

一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.

也就是说,若,且,则.

特别提示

(1)若,又,则;反之,如果,则,且.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证,只需证与同时成立即可.

(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关.

典例探究

例2下列等式成立的是()

A.

B.

C.

D.

解析:选项,正确;

选项,元素不相同,错误;

选项C,元素不相同,错误;

选项D,元素不相同,错误.

答案:

方法技巧:当两个集合中的元素个数较少时,判断两个集合相等,利用上一节所学的集合相等的定义判断更为简便,即判断两个集合中的元素是否完全相同,若是,则两个集合相等.

变式训练2下列四个集合中,不同于另外三个的是()

A.

B.

C.

D.

答案:

解析:对于选项中的集合,元素都是数量2,而选项B中的集合的元素是等式,因此选项B不同于另外三个.

探究点3真子集

知识详解

定义

如果集合,但存在元素,且,我

们称集合A是集合B的真子集

记法

记作(或)

图示

结论

(1)且,则;

(2)且,则

特别提示

(1)在真子集的定义中,首先要满足,其次至少有一个,但.

(2)若不是的子集,则一定不是的真子集.

典例探究

例3设集合,若是非空集合,则实数的取值范围是__________.

解析:∵集合是非空集合,

∴有解