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四年级奥数培优《容斥原理》--第1页

容斥原理

一、知识梳理

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部

分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

二、例题精讲

例1.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又

问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”

没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

例2.某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题

都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？

例3.某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参

加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

例4.在1到60的自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

例5.光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有

24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他

年级参展的书法作品共有多少幅？

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三、课堂小测

6.五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文

成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？

7.五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小

组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？

8.一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋

都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？

9.科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级

的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有

多少件？

10.四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，

订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？

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11.某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人

两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？

12.三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队

的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？

13.六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不

是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展

的画共有多少幅？

四、拓展提高

14.在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？

15.三个正方形叠放在一起，如上图所示。求：∠1的度数。

1

195°

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容斥原理

一、知识梳理

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部

分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

二、例题精讲

例1.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又

问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”

没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。