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2024/9/18高等代数一、多项式整除的概念多项式的整除性设，若存在，使，则说整除，记为：，记为：。当时，称作的因式，称作的倍式。整除的基本性质性质1：否则就说不能整除若
2024/9/18高等代数则。（传递性）证：使性质2：若，则。证：
2024/9/18高等代数性质3：若，对。证：性质4：若则对有性质5：若则
2024/9/18高等代数证：为常数。性质6：且则性质7：带余除法定理定理：设，且则存在使得这里或
2024/9/18高等代数满足条件的唯一确定。商式余式证：先证存在性。1、若则取即知结论成立。2、设对的次数n，利用数学归纳法。当nm时，显然取下面讨论的情况。假设当次数小于n时，的存在性已证现考虑次数为n的情况。，即知结论成立。
2024/9/18高等代数令分别是的首项，因而多项式的次数小于n或为0。若，取若由归纳法假设，对有存在，使其中或者于是取就有，结论成立；
2024/9/18高等代数其中或者再证唯一性。若有则若则这与矛盾，故从而
2024/9/18高等代数推论1：若且则的充要条件是：除的余式证：充分性。若且则有必要性。若，则例1.3.1设求除所得的余式和商式。
2024/9/18高等代数例：证明的充要条件是证：充分性显然。下证必要性，设于是由于，故。多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么问题：数域F上的多项式与的整除性是否会因数域的扩大而改变？多项式的整除性不因数域的扩大而改变
2024/9/18高等代数设，若在F上是否在上也有？结论：设，而，中，在则在中也有（多项式的整除性不因数域的扩大而改变）证：若则在中，因此在中，若则在中有
2024/9/18高等代数但中的多项式仍是的多项式。因而在中，这一等式仍然成立。由的唯一性知，在中
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