湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.3.4 导数的应用举例.ppt

;;基础落实·必备知识一遍过;;;名师点睛

1.用导数解决最优化问题的基本思路;2.解决最优化问题的注意点

利用导数求解最优化问题,往往归结为函数的最大值或最小值问题.解题中要特别注意以下几点:

(1)当问题涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量之间的关系;

(2)确定函数解析式中自变量的取值范围;

(3)所得的结果要符合问题的实际意义.;自主诊断

1.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注.据有关统计数据显示,从上午6h到9h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:;2.做一个容积为256m3的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省时(即所用材料的面积最小),它的高为m.;;探究点一利润问题;(x-6)2,3x6,从而f(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6),于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:;规律方法关于利润问题的解法

利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润=收入-成本”或“利润=每件产品的利润×销售件数”建立函数关系式,再根据函数解析式的特征求最大值.

【提醒】关于利润问题的解法需注意的问题:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0.;变式训练1某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(单位:吨)与每吨产品的售价p(单位:元/吨)之间的函数关系式为,且生产x吨产品的成本为R=50000+200x元.问:该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?;探究点二面积、容积最值问题;解(1)首先写出V关于x的函数解析式.根据题意,可得V=V(x)=(48-2x)2x.

由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0x24}.

根据导数公式表及导数的运算法则,可得V(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x)(-6x+48)=12(x-24)(x-8).

解方程V(x)=0,得x1=8,x2=24.根据x1,x2列出下表,分析V(x)的符号、V(x)的单调性和极值点.;根据上表可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点,相应的极大值为

V=V(8)=(48-16)2×8=8192(cm3).

V=(48-2x)2x的大致图象如图.

根据对函数变化规律的讨论可知:当0x≤8时,函数V=V(x)单调递增;当8≤x24时,函数V=V(x)单调递减.;(2)区间(0,24)内任意点??函数值都不超过V(8),因此,x=8是函数的最大值点.

此时V=V(8)=8192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0,24)内的最大值.

即当截去的小正方形的边长为8cm时,得到的容器容积最内,最大容积为

8192cm3.;规律方法解决容积、体积最大问题的方法

解决容积、体积最大问题时,需根据几何体的形状,利用立体几何的相关知识,如柱、锥、球的体积公式等,将目标变量表示为自变量的函数,准确确定定义域,再用导数知识求目标函数的最大值.如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求解过程.;变式训练2要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为();探究点三利用三角函数知识求解优化问题;解(1)由于∠AOC=θ,因此扇形区域AOC中由弧长公式及余弦定理可得;规律方法求解与三角函数有关的优化问题的方法

优化问题中,若函数关系式是关于角的三角函数关系式,求解时首先利用三角函数的求导公式结合函数关系式,将所求函数的导数化为只含一个角的三角函数式,结合三角函数的性质研究函数的单调性并求最值.;(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小.

(2)已知修建道路PQ的单位成本是修建道路的单位成本的2倍.当θ取何值时,修建观光专线的总成本最低?请说明理由.;;;1;1;1;1;1;1;1;1;