湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第四节 幂函数与二次函数.ppt

;内容索引;课标解读;强基础固本增分;1.幂函数的概念

注意幂函数与指数函数的区别

一般地,函数y=xα叫作(α次)幂函数,其中x是自变量,α是非零实数.?;2.常用5个简单幂函数的图象与性质;微点拨1.幂函数在(0,+∞)上都有定义;

2.当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;

3.当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.;3.二次函数的图象和性质;微点拨1.二次函数解析式的三种基本形式

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);

(2)顶点式:若函数的顶点坐标为(h,k),则y=a(x-h)2+k(a≠0);

(3)零点式:若函数的两个零点为x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当b=0时,f(x)为偶函数,当b≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.;常用结论

1.一般地,对于幂函数(m∈Z,n∈N+,m与n互质),当m为偶数时,f(x)为偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函数.;2.二次函数在闭区间上的最值

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),x∈[m,n],;自主诊断

题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”);题组二双基自测;6.已知二次函数的图象过点(-1,4),(0,1),(1,2),求这个二次函数的解析式.;研考点精准突破;;解析(1)由题意,令m2+m-5=1,即m2+m-6=0,解得m=2或m=-3.当m=2时,可得f(x)=x3,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意;当m=-3时,可得f(x)=x-2,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,即幂函数f(x)=x3,则f(3)=27.;规律方法1.对于幂函数y=xα图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α0,0α1,α=1,α1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.;答案C;;(方法3利用二次函数的零点式)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.

又因为函数f(x)的最大值为8,所以a0,且=8,解得a=-4.故f(x)=-4x2+4x+7.;引申探究1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.

解设f(x)=ax(x+2)(a≠0).因为函数f(x)的最大值为8,

所以a0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,

所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.;引申探究2将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且?x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.

解因为f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.

又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为x1=1和x2=3.

设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).

又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,

所以a=1.

所以f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.;规律方法求二次函数解析式的方法

求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:;;答案ABC

解析因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,所以

x==1,得2a+b=0,故A正确;当x=-2时,y=4a-2b+c0,故B正确;该函数图象与x轴有两个不同的交点,则b2-4ac0,故C正确;因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0),所以点A的坐标为(3,0),所以当y0时,x-1或x3,故D错误.故选ABC.;规律方法二次函数图象的应用技巧;对点训练已知函数f(x)=ax2+bx+c.若abc且a+b+c=0,则f(x)的图象可能是()

答案D

解析由abc且a+b+c=0,得a0,c0,所以函数图象开口向上,排除选项A,C.又因为f(0)=c0,排除选项B,故选D.