高中数学：习题课（四）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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习题课（四)

一、选择题

1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－eq\f（1,3），则cos2α＝(）

A.eq\f（\r(17),9）B．－eq\f（\r（17),10)

C．－eq\f(\r(17)，9)D.eq\f（\r(17），10）

答案：A

解析：因为cosα＋sinα＝－eq\f（1,3)，α∈（0，π）,所以sin2α＝－eq\f（8,9），cosα0，且α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3π,4）,π）),所以2α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3π，2),2π）），所以cos2α＝eq\r（1－sin22α）＝eq\f（\r(17)，9)。故选A。

2．已知sin（α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f（3，5),β是第三象限角，则sin（2β＋7π)＝（）

A.eq\f（24，25）B．－eq\f(24，25）

C．－eq\f（12，25）D.eq\f(12,25)

答案：B

解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin（α－β)cosα－cos(α－β）sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin（－β）＝－sinβ＝eq\f（3,5）,∴sinβ＝－eq\f（3,5）。又β是第三象限角，∴cosβ＝－eq\f(4，5),∴sin(2β＋7π）＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)））×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(4，5）)）＝－eq\f(24，25）。

3．已知角α,β均为锐角，且cosα＝eq\f（3，5），tan(α－β）＝－eq\f（1,3），则tanβ＝(）

A.eq\f(1，3）B.eq\f（9，13)

C.eq\f(13,9)D．3

答案：D

解析：由于α，β均为锐角，cosα＝eq\f(3,5），则sinα＝eq\f(4,5），tanα＝eq\f(4,3).又tan(α－β）＝－eq\f(1,3）,所以tanβ＝tan［α－(α－β）］＝eq\f（tanα－tan?α－β?，1＋tanαtan?α－β?)＝eq\f（\f(4，3)＋\f（1,3),1－\f(4,3）×\f(1,3)）＝3.故选D.

4．函数f（x)＝cos2x＋sin2x＋2（x∈R)的值域是()

A．[2，3]B。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（5,2)，3)）

C．[1，4]D．［2，4]

答案：A

解析：因为f(x）＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x,sinx∈［－1，1]，所以f(x）∈［2,3]．故选A.

5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r（3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π,2），\f(π,2））），则α＋β等于(）

A.eq\f（π,3）B．－eq\f（2π,3)

C。eq\f（π，3)或－eq\f（2π,3)D．－eq\f（π,3)或eq\f(2π，3)

答案：B

解析：由题意，得tanα＋tanβ＝－3eq\r（3)，tanαtanβ＝4，∴tanα0且tanβ0。又∵α,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π，2），\f(π，2）))，∴α,β∈(－eq\f(π,2)，0)．tan（α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f（－3\r(3）,1－4）＝eq\r（3），又知α＋β∈（－π，0),∴α＋β＝－eq\f(2π，3)。

6．化简eq\r（2＋cos2－sin21）的结果是(）

A．－cos1B．cos1

C。eq\r(3)cos1D．－eq\r(3)cos1

答案：C

解析：原式＝eq\r(1＋cos21＋2cos21－1)＝eq\r（3cos21）＝eq\r（3）cos1.

二、填空题

7．已知sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4）)）＝eq\f(3,5)，则sin2x＝________。

答案：－eq\f(7，25）

解析:∵sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4