湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第7章平面向量、复数 第3节平面向量的数量积.ppt

第3节平面向量的数量积

课标解读1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.

1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分

知识梳理1.平面向量数量积的概念设a,b是任意两个向量,a,b是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cosa,b为a与b的数量积.由平面向量夹角的定义可知,a,b=α的取值范围为[0,π].

误区警示只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,

2.投影向量与投影长(1)(2)

微点拨1.投影向量仍然是一个向量.

3.向量数量积的几何意义一般地,a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosα的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosα的乘积.由此得到利用数量积计算b在a方向上的投影|b|cosα的公式:

4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.

5.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.

常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)a与b的夹角θ为锐角,则有a·b0,反之不成立(θ为0时不成立).(2)a与b的夹角为钝角,则有a·b0,反之不成立(θ为π时不成立).

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)4.两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()×××√

题组二回源教材5.(湘教版必修第二册1.5.1节例3)求证:菱形的对角线互相垂直.

6.(人教A版必修第二册6.2.4节例10)设|a|=12,|b|=9,a·b=,求a与b的夹角θ.7.(人教A版必修第二册6.2.4节例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).解(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.

8.(湘教版必修第二册1.5.2节例4改编)已知平面向量a,b,满足a=(m-1,-2),b=(-4,1),其中m∈R.(1)若a∥b,求实数m的值;(2)若a⊥b,求向量2a-b与b的夹角的大小.解(1)因为a=(m-1,-2),b=(-4,1),且a∥b,所以m-1=(-2)×(-4),解得m=9.

题组三连线高考9.(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cosa+b,a-b=()B解析∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cosa+b,a-b

10.(2022·全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()A.2 B.3 C.4 D.5D

11.(2021·全国乙,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=.?解析由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=

2研考点精准突破

考点一平面向量数量积的运算例1(2023·全国乙,文6)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则B

[对点训练1](1)(2024·陕西咸阳模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,c=2a+b,且a,b夹角为120°,则a·c=()A.0 B.1 C. D.2B解析由向量a,b满足|a|=1,|b|=2,c=2a+b,且a,b夹角为120°,可得a·c=a·(2a+b)=2a2+a·b=2×12+1×2×cos120°=2-1=1.

(2)设M,N是圆O上两点,若MN=2,则=()A.-4 B.-2 C.2 D.4C

(方法三)设MN中点为P,以MN所在直线为x轴,线