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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.1二次根式精讲精练(易错题型分类导练案)
【目标导航】
【知识梳理】
1.二次根式的定义
形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号;
判断一个式子是二次根式,需要满足以下条件:(1)根指数必须是2;(2)被开方数为非负数.
2.二次根式有无意义的条件:
(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是:各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数.
(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.
3.二次根式的性质:
(1)a³0,a³0(双重非负性).
(2)(a)2=a,a³0(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式).
应用:在实数范围内分解因式:4m2-7=(2m)2-(7)2=(2m+7)(2m-7)
a,a³0
ì
2ï
(3)a=a=í
-a,a£0
ï
î
(4)ab=a·b(a≥0,b≥0)
aa
(5)=(a≥0,b0)
bb
4.二次根式的化简:
(1)二次根式化简的步骤:
①把被开方数分解因式;
②利用积的算术平方根的性质,把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来;
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,所得结果为最简二次根
式或整式.
(2)最简二次根式的条件:
被开方数不含分母;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
5.二次根式的运算:
(1)二次根式的乘法a·b=ab.(a≥0,b≥0)
文字语言:二次根式与二次根式相乘,等于各个被开数的积的算术平方根.
推广:a×b×××k=a×b×××k(a³0,b³0....k³)0
aa
(2)二次根式的除法:=(a≥0,b0)
bb
文字语言:二次根式与二次根式相乘,等于各个被开数的商的算术平方根.
(3)二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二
根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变.
二次根式的加减步骤:
①如果有括号,根据去括号法则去掉括号.
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.
③合并被开方数相同的二次根式.
6.二次根式的混合运算:
(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.
①与实数的混合运算一致,运算顺序先乘方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式,多个不同类的二次根式的和可以看作多项式.
(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式.
(3)在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往
往能事半功倍.
7.二次根式的应用:
把二次根式的运算与现实生活相联系,体现了所学知识之间的联系,感受所学知识的整体性,不断丰富解
决问题的策略,提高解决问题的能力.二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式
的概念、性质和运算的方法.
【典例剖析】【变式训练】
考点1二次根式的定义
1.(2022春•会东县校级月考)下列各式中,是二次根式的有()
2322
(1)6;(2)3.14−;(3)+1;(4)−27;(5)+2+2;(6)||;(7)−2(2−1);
11
(8)11+2(<−2).
A.4个B.5个C.6个D.7个
【
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