动物群体的常微分方程模型暑期选讲详解课件.pptVIP

动物群体的常微分方程模型

动物群体的微分方程模型§1引言§2单种群模型与人口问题§3进行开发的单种群模型§4弱肉强食模型§5竞争排斥模型§6竞争排斥原理的数学分析§7无管理的捞鱼模型2

§1引言ACM-85试题A的标题是“动物群体的管理”，题文曰：“一种资源有限（即有限的食物、空间、水等）的环境里发现天然存在的动物群体，试选择一种鱼类或哺乳动物（例如北美矮种马、鹿、兔、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼等）以及一个你能获得适当数据的环境，并建立一个对该动物群体捕获量的最佳方案。与这一试题有相同或相似数学模型问3

题非常之多，例如人口问题，生态与动植物保护的问题，种群之间的竞争排斥问题，等等，这些涉及人口与社会发展、生态与社会发展的重要问题，理应成为数学建模当中急需考虑的内容。本讲用常微分方程这一数学模型定量地或定性地讨论此类问题的建模思想与方法。4

§1单种群模型与人口问题动植物种群本身是离散变量，谈不上可微，但由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数目相比，这种增量是很微小的，所以，可以近似地假设大规模种群随时间是连续地甚至可微地在变化，进而可以引用微分方程这一数学工具来研究。5

英国人马尔萨斯（Malthus，1766-1834）认为人口的净增长率为常数，即单位时间内人口增量与人口总量成正比，设t时刻人口数位p(t)，则有Malthus人口模型（1）6

这个Cauchy问题的解为用此模型估算1700—1961年间的人口数目，计算结果与人口实际情况竟然惊人地相似。但是，当t?+∞，计算结果p(t)?+∞，具体地说，此模型可以求得2510年的人口总数为2000亿左右，可见，这一模型必须进行修正。问题出7

在Malthus只看到繁衍增长的一面，未看到种群内竞争（如人类战争）对种族发展的抑制作用。1837年荷兰生物数学家Verhulst考虑单了种群成员间冲突乃至残害现象，得出容易理解的下述单种族数学模型：8

其解为：（2）美国和法国都曾用这个公式预报过人口变化，结果相当符合实际。显然（3）9

a=0.029，b可以如下求得：1980年5月1日，我国公布的人口总数1979年底为97092万人，当时人口增长率为1.45%，于是a-b×9.7092×10=0.0145，从而求8得：b，及=19.42(亿），即，我国的人口极限约为19.42亿人。10

§3进行开发的单种群模型养鱼场从鱼池中捞鱼出售，每次捕捞得太少不合算，一方面销售收入少，而且池中鱼过多也不利于鱼群生长繁衍，但每次捞得过多，“竭泽而渔”，显然也不可取，应怎样控制捕捞率，使得总经济效益最优？设单位时间内捕捞h条鱼，t时刻池中鱼数为N(t)，则N(t)满足下列数学模型：11

（4）其中K是鱼池中鱼数的最大值（受池子条件限制，此最大值是存在的。h称为收获率。考虑dN/dt=0时，即，12

得到当时，dN/dt0，此时，池中鱼数单调递减，长此下去将无鱼可捞，所以，大可承受的产量。是最13

当时，有两个正的平衡点（5）这样，模型（4）可以写成14

当NN（N）时，12当NNN时，21当NN时，2可见，当t增加时，N=N附近的N1=N(t)远离N=N这一水平线（在Nt平1面，t为横轴），而在N=N附近N=2N(t)趋近于N=N这一水平线，N=N，21N=N是平凡解，即，解N=N是不稳21定的，N=N是稳定的。215

初始时刻，池中鱼数N(t)N，01则单调下降趋于零，池中鱼会捞净灭绝；而N(t)N时，则池中鱼01数量将自动调节随时间之增加趋于N2条鱼，又由可见h越小，N越小所以，116

一般要用小收获率h来开发低密度的种群，而用大收获率去开发高密度的种群。反之由可以解得17

即应控制收获率h不要超过否则，将无鱼可捕。从上面讨论知，收获率h与种群密度是相关的，密度小时收获率亦应小。令收获率h=kN，k称为捕捞率。由（5）知，是（4）的平凡解，此时18

收获率是最大可承受的单位时间内的产量。可见，欲使池中鱼不至于随时间之增加而趋于灭绝，又使产量最大，仅当池中鱼是最大可能鱼数之半时才可能。这时，从得平衡点为19

（r≤k则是“败家式”捕捞，不可行），于是即得r=2k，即鱼的增长率是捕捞率的2倍时，才达到最大收获量下面分析在多大捕捞量时净利润最大。假设价为p元，又开支与捕捞率k成正比，则净利润为：20

(6)在池鱼数稳定的条件下，即时的利润可写为（上式代入（6））：21

（7）求函数（7）的最大值得知当时（7）取最大值。这时捕捞量为：22

这时的捕捞量比最大捕捞量小，要少捞一些，少捕捕捞